TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 156

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Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x) = \frac{x+1}{x-1}. Können Sie allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

f(x) = \frac{x+1}{x-1}

f'(x) = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = -2 \cdot (x-1)^{-2} = \frac{-2}{(x-1)^2}

f''(x) = -2 \cdot -2 (x-1)^{-3} = 4 (x-1)^{-3} = \frac{4}{(x-1)^3}

f'''(x) = -3 \cdot 4 (x-1)^{-4} = -12 (x-1)^{-4} = \frac{-12}{(x-1)^4}

f''''(x) = -4 \cdot -12 (x-1)^{-5} = 48 (x-1)^{-5} = \frac{48}{(x-1)^5}

f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n \cdot 2 \cdot n!}{(x-1)^{n+1}}

Anmerkung:

  • Anwendung der Quotientenregel