TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 107

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(\log _{2}x,x)\ |\ x\in \mathbb {R} _{+}\},A=B=\mathbb {R}$

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WARNUNG: Siehe https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)

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Eine andere Schreibweise für $aRb$ ist definitionsgemäß $f(a)=b$. In diesem Fall bedeutet das:

${\begin{array}{rcl}f(\log _{2}x)&=&x\\\Rightarrow f(x)&=&2^{x}\end{array}}$

Injektivität: Eine Abbildung $f:A\rightarrow B$ heißt injektiv dann, wenn für alle $b\in B$ höchstens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Angenommen, $f(x_{1})=f(x_{2})=x$, wobei $x_{1}\neq x_{2},\ x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} _{+}$:

${\begin{array}{rcll}f(x_{1})&=&f(x_{2})\\2^{x_{1}}&=&2^{x_{2}}&\quad |\ \log _{2}\\\log _{2}2^{x_{1}}&=&\log _{2}2^{x_{2}}\\x_{1}&=&x_{2}\end{array}}$

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle $b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Diese Eigenschaft ist hier erfüllt, da der Ausdruck $2^{x}$ für alle $x\in \mathbb {R} _{+}$ definiert ist. Die Abbildung ist daher surjektiv.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.