TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 107

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{({\log }_{2}x,x)|x\in {ℝ}_{+}\},A=B=ℝ$

---

WARNUNG: Siehe https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=266291 --Mnemetz 22:35, 22. Nov 2005 (CET)

---

Eine andere Schreibweise für $aRb$ ist definitionsgemäß $f(a)=b$. In diesem Fall bedeutet das:

$\begin{array}{ccc}f({\log }_{2}x)& =& x\\ \Rightarrow f(x)& =& 2^x\end{array}$

Injektivität: Eine Abbildung $f:A\to B$ heißt injektiv dann, wenn für alle $b\in B$ höchstens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Angenommen, $f(x_1)=f(x_2)=x$, wobei $x_1\ne x_2,x_1,x_2\in {ℝ}_{+}$:

$\begin{array}{ccc}f(x_1)& =& f(x_2)\\ 2^{x_1}& =& 2^{x_2}& |{\log }_2\\ {\log }_2{2}^{x_1}& =& {\log }_2{2}^{x_2}\\ x_1& =& x_2\end{array}$

Es ergibt sich ein Widerspruch zur Annahme - daher muß f injektiv sein.

Surjektivität: Eine Abbildung heißt surjektiv, wenn für alle $b\in B$ mindestens ein $a\in A$ existiert, sodaß $f(a)=b$.

Diese Eigenschaft ist hier erfüllt, da der Ausdruck $2^x$ für alle $x\in {ℝ}_{+}$ definiert ist. Die Abbildung ist daher surjektiv.

Ist eine Abbildung injektiv und surjektiv, so ist sie bijektiv.