TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 109

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Seien und surjektive Abbildungen. Man zeige, daß dann auch surjektiv ist. ()

Anmerkung: steht für eine Verkettung. --Mnemetz 16:55, 21. Nov 2005 (CET)

Eine Abbildung ist surjektiv, wenn für alle mindestens ein existiert, sodaß .

Wir müssen daher nun zeigen, daß bei der Hintereinanderausführung für alle mindestens ein existiert, sodaß :

Da die Abbildung g surjektiv ist, gibt es ein für alle , sodaß:

Da auch f surjektiv ist, gibt es auch tatsächlich ein für alle mit:

Daraus folgt, daß es ein für alle gibt, für die

gilt. Das bedeutet, daß die Hintereinanderausführung der surjektiven Abbildungen g und f selbst auch surjektiv sein muß.