TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 112

Bestimmen Sie zur folgenden Permutation $\pi$ die Zyklendarstellung, das Vorzeichen, sowie inverse Permutation ${\pi }^{-1}$:

$\pi =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 8& 9& 1& 7& 2& 5& 4& 3& 6\end{array}\right)$

Lösung von Baccus

$\pi =\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 8& 9& 1& 7& 2& 5& 4& 3& 6\end{array}\right)=(183)(2965)(47)$

Für die Inversion vertausche man die zwei Zeilen der Permutation und ordne um:

${\pi }^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccccc}8& 9& 1& 7& 2& 5& 4& 3& 6\\ 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 3& 5& 8& 7& 6& 9& 4& 1& 2\end{array}\right)$

$\text{sgn}\pi =\underset{+1}{\underbrace{\text{sgn}(183)}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{\text{sgn}(2965)}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{\text{sgn}(47)}}=1$

QED.

$\text{sgn}\pi =\text{sgn}(-1{)}^{\mathrm{\#}Inversionen}=(-1{)}^{Len(\pi )+\mathrm{\#}Zyklen}$

-- Baccus

Lösung von Hapi

.....................$\prod$ = ...................... $\prod$ invers........ umgeordnet

         123456789           891725436   123456789
         891725436           123456789   358769412

Zyklus (183)(2965)(47), Sgn = (-1) hoch 22 = 1 (Anzahl Inversionen gerade!)

z.B. 1. Zyklus 2 Vertauschungen, gerade, 2 Zyklus 3 Vertauschungen, 3 Zyklus 1 Vertauschung,

jeweils ungerade = lt. Prof Urbanek für ungerade -1 und gerade +1 = (+1)(-1)(-1) gibt gerade.

Anzahl Transpositionen gerade.

0. 891725436

1. 198725436

2. 128795436

3. 123795486

4. 123495786

5. 123459786

6. 123456789

Hapi

Links

Wikipädia:

• Permutation