TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 112

Bestimmen Sie zur folgenden Permutation $\pi$ die Zyklendarstellung, das Vorzeichen, sowie inverse Permutation $\pi ^{-1}$:

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\8&9&1&7&2&5&4&3&6\end{pmatrix}}$

Lösung von Baccus

$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\8&9&1&7&2&5&4&3&6\end{pmatrix}}=(183)(2965)(47)$

Für die Inversion vertausche man die zwei Zeilen der Permutation und ordne um:

$\pi ^{-1}={\begin{pmatrix}8&9&1&7&2&5&4&3&6\\1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\3&5&8&7&6&9&4&1&2\end{pmatrix}}$

${\text{sgn}}\pi ={\underset {+1}{\underbrace {{\text{sgn}}(183)} }}\cdot {\underset {-1}{\underbrace {{\text{sgn}}(2965)} }}\cdot {\underset {-1}{\underbrace {{\text{sgn}}(47)} }}=1$

QED.

${\text{sgn}}\pi ={\text{sgn}}(-1)^{\#Inversionen}=(-1)^{Len(\pi )+\#Zyklen}$

-- Baccus

Lösung von Hapi

.....................$\prod$ = ...................... $\prod$ invers........ umgeordnet

         123456789           891725436   123456789
         891725436           123456789   358769412

Zyklus (183)(2965)(47), Sgn = (-1) hoch 22 = 1 (Anzahl Inversionen gerade!)

z.B. 1. Zyklus 2 Vertauschungen, gerade, 2 Zyklus 3 Vertauschungen, 3 Zyklus 1 Vertauschung,

jeweils ungerade = lt. Prof Urbanek für ungerade -1 und gerade +1 = (+1)(-1)(-1) gibt gerade.

Anzahl Transpositionen gerade.

0. 891725436

1. 198725436

2. 128795436

3. 123795486

4. 123495786

5. 123459786

6. 123456789

Hapi

Links

Wikipädia:

• Permutation