TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 127

Jemand wirft eine Münze 2n mal. Wievele verschiedene Spielverläufe gibt es, wenn gleich oft Kopf und Adler auftreten.

Theorie

Permutation einer Multimenge

Permutation einer Multimenge

$\frac{(k_1+k_2+\mathrm{...}+k_n)!}{k_1!\ast k_2!\ast \mathrm{...}\ast k_n!}$

Hierbei handelt es sich um eine Permutation einer Multimenge, welche fordert, dass das Element $a_i$ genau $k_i$-mal auftreten darf (siehe Buch S. 49).

In diesem Beispiel müssen die beiden Elemente Kopf und Adler gleich oft auftreten. Es wird bei jedem, der $n$-Durchgänge, 2-mal geworfen, d.h. es wird $2n$-mal geworfen. Davon muss die eine Hälfte der Ergebnisse Kopf ($k_{Kopf}=\frac{2n}{2}=n$) und die andere Zahl ($k_{Adler}=\frac{2n}{2}=n$) ergeben. Durch Einsetzen in die Formel für Permutationen einer Multimenge, ergibt das:

$\frac{(2n)!}{k_{Kopf}!\ast k_{Adler}!}=\frac{(2n)!}{n!\ast n!}$

Lösungsversuch

Anzahl Kopf = n, Anzahl Adler = n, Anzahl der Würfe = 2n

$\frac{(2n)!}{n!\ast n!}$

Beispiel:

              n = 6, 2n = 12 	12! =   479.001.600	(6!)² = (720)² = 518.400 = 924	                              
              n = 5, 2n = 10	10!=      3.628.800	(5!)² = (120)² =  14.400 = 252
              n = 4, 2n =  8	 8! =        40.320	(4!)² =  (24)² =     576 =  70
              n = 3, 2n =  6     6! =           720     (3!)² =   (6)² =      36 =  20

Hapi

Ein Kleines Beispiel:

4 Münzenwürfe (2xKopf und 2xAdler)

n=2

2n=4

$\frac{(2n)!}{n!\ast n!}=\frac{(4)!}{2!\ast 2!}=\frac{24}{4}=6$

1.) A A K K

2.) K K A A

3.) K A K A

4.) A K A K

5.) A K K A

6.) K A A K

zombie88

Literatur: Permutationen, Kombinatorik

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