TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 129

Angabe

Man bestimme die Anzahl der möglichen Tototipps (1,2,X) bei 12 Spielen und die Anzahl der möglichen richtigen Zehner (d.h. die Anzahl drjenigen Tips, die mit einer vorgegebenen Kolonne an genau 10 der 12 Stellen übereinstimmen),

Lösungsvorschlag von mnemetz

Anzahl der Möglichen Tototipps

Es gibt 12 Spiele zu je 3 Tipps (1,2,X). Es liegt eine Variation mit Wiederholung vor. Diese ist ein geordnetes k-Tupel {$a_{1},...,a_{12}$} (in unserem Falle) von nicht notwendig verschiedenen Elementen aus A.

Somit ist die Anzahl der möglichen Tototipps: $^{W}V_{n}^{k}=^{W}V_{3}^{12}=3^{12}$

Anzahl der möglichen richtigen Zehner

Die Anzahl der Zehner ist eine Kombination ohne Wiederholung. Eine Solche ist ein ungeordnetes k-Tupel {$a_{1},...,a_{12}$} (in unserem Falle) verschiedener Elemente von A (k-Elementige Teilmenge von A).

Die Anzahl der Kombnationen von n Elementen zur k-ten Klasse ist somit ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=C_{n}^{k}$.

${\begin{pmatrix}12\\10\end{pmatrix}}$

Das ist aber noch nicht alles. Es gibt noch 2 "falsche" Zustände. Die Reihenfolge ist wichtig, Wiederholung erlaubt, also ist die Anzahl dieser "falschen" Zustände: $^{W}V_{n}^{k}=^{W}V_{2}^{2}=2^{2}$

Um das Ganze abzuschließen führt man nun die beiden Teilergebnisse zusammen und erhält:

$2^{2}*{\begin{pmatrix}12\\10\end{pmatrix}}=2^{2}*{\frac {12!}{10!*(12-10)!}}=4*{\frac {12!}{10!*2!}}=264$

Somit gibt es 264 Möglichkeiten für richtige Zehner.

Links

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• f.thread:10667