TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 143

Angabe

$\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}k5^{k}$

Binomischer Lehrsatz

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}a^{n-k}b^{k}$

Aufgabe

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Vorgangsweise

$a=1,b=x$ einsetzen, damit $a^{n-k}$ wegfällt.

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{k}$

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

$n(1+x)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}kx^{k-1}$

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder $x^{k}$ steht.

$nx(1+x)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}kx^{k}$

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

$n5(1+5)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}k5^{k}$

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

$n5(1+5)^{n-1}=5n6^{n-1}$

Kommentar

Die Lösung wurde zwar nicht in der Übung vorgetragen, sollte aber stimmen. (Der Lösungsweg lässt sich auf 142 und 144 übertragen und auch dort stimmen die Ergebnisse)

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--AFDia 16:43, 14. Dez 2006 (CET)