TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 143

Angabe

$\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{5}^k$

Binomischer Lehrsatz

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}{b}^k$

Aufgabe

Binomischen Lehrsatz so umformen, dass er auf die angegebene Formel anwendbar ist.

Vorgangsweise

$a=1,b=x$ einsetzen, damit $a^{n-k}$ wegfällt.

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^k$

Nun bilden wir die 1. Ableitung, damit k heruntergeholt wird.

$n(1+x{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{x}^{k-1}$

Die Gleichung beidseitig mit x multiplizieren, damit wieder $x^k$ steht.

$nx(1+x{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{x}^k$

Jetzt wird die Angabe eingesetzt.

$n5(1+5{)}^{n-1}=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)k{5}^k$

Als Ergebnis bekommen wir heraus:

$n5(1+5{)}^{n-1}=5n{6}^{n-1}$

Kommentar

Die Lösung wurde zwar nicht in der Übung vorgetragen, sollte aber stimmen. (Der Lösungsweg lässt sich auf 142 und 144 übertragen und auch dort stimmen die Ergebnisse)

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--AFDia 16:43, 14. Dez 2006 (CET)