TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 144

Angabe

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes:

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}k{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}k{\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {kn!}{k!(n-k)!}}$

// k kürzen $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}$

// n herausheben (das darf man ja, weil nur k variabel ist)

$n\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}$

${\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}$ das ist nichts anderes als ${\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$, weil ${\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}}$

// das heisst, unsere formel schaut jetzt so aus:

$n\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$

// da bei k = 0, der summand 0 ist, können wir den index bei 1 beginnen lassen, sonst // ist ja n über k nicht definiert (für k-1 = -1, bei k=0)

$n\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}}$

// dann setzen wir den index wieder auf 0 und lassen halt nur mehr bis n-1 laufen, k müssen wir halt überall um 1 erhöhen

$n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

// dann stört uns eigentlich nur noch das $(-1)^{k+1}$, also heben wir einfach noch -1 heraus und // das ding schaut aus wie ein binom, da der zweite teil des binoms nur mehr 1 sein kann, lautet unsere formel

$-1n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(1)^{n-1-k}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

// so, der binomische lehrsatz lautet ja

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x^{k}y^{n-k}$

also

$-1n(x+y)^{n-1}=-1n\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(1)^{n-1-k}{\begin{pmatrix}n-1\\k\end{pmatrix}}$

sprich

x=-1 y=1

x+y = 0

0^irgendwas ist 0, dass ganze ding ist 0

wow, des is echt genial

EDIT: x und y waren verkehrt herum und es ist x+y nicht x-y

--Tjom 16:37, 21. Mai 2007 (CEST)

Hilfreiches

• f.thread:7664

siehe Bsp 422

• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=2452&d=1078760491
• f.thread:16467