TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 144

Angabe

Berechnen Sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes:

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}k\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{kn!}{k!(n-k)!}$

// k kürzen $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

// n herausheben (das darf man ja, weil nur k variabel ist)

$n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$

$\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$ das ist nichts anderes als $\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)$, weil $\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}$

// das heisst, unsere formel schaut jetzt so aus:

$n\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)$

// da bei k = 0, der summand 0 ist, können wir den index bei 1 beginnen lassen, sonst // ist ja n über k nicht definiert (für k-1 = -1, bei k=0)

$n\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)$

// dann setzen wir den index wieder auf 0 und lassen halt nur mehr bis n-1 laufen, k müssen wir halt überall um 1 erhöhen

$n\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^{k+1}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)$

// dann stört uns eigentlich nur noch das $(-1{)}^{k+1}$, also heben wir einfach noch -1 heraus und // das ding schaut aus wie ein binom, da der zweite teil des binoms nur mehr 1 sein kann, lautet unsere formel

$-1n\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k(1{)}^{n-1-k}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)$

// so, der binomische lehrsatz lautet ja

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{n-k}$

also

$-1n(x+y{)}^{n-1}=-1n\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k(1{)}^{n-1-k}\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)$

sprich

x=-1 y=1

x+y = 0

0^irgendwas ist 0, dass ganze ding ist 0

wow, des is echt genial

EDIT: x und y waren verkehrt herum und es ist x+y nicht x-y

--Tjom 16:37, 21. Mai 2007 (CEST)

Hilfreiches

• f.thread:7664

siehe Bsp 422

• https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/attachment.php?attachmentid=2452&d=1078760491
• f.thread:16467