TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 156

Angabe

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 10^4$ gibt es, die durch 9 und 11, aber weder durch 5 und 7 teilbar sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz

• A: Menge aller Zahlen, die durch 9 und 11 teilbar sind (entspr. durch 9*11 = 99 teilbar)
• B: Menge aller Zahlen, die durch 5 teilbar sind
• C: Menge aller Zahlen, die durch 7 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

$|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$|A|=\frac{10000}{9\ast 11}=101$

$|A\cap B|=\frac{10000}{9\ast 11\ast 5}=20$

$|A\cap C|=\frac{10000}{9\ast 11\ast 7}=14$

$|A\cap B\cap C|=\frac{10000}{9\ast 11\ast 5\ast 7}=2$

$101-20-14+2=69$

69 Zahlen zwischen 1 und 10000 sind durch 9 und 11, aber nicht durch 5 und 7 teilbar.