TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 157

Angabe

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\le n\le 10^4$ gibt es, die durch 3, 5 und aber weder durch 9 und 11 teilbar sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz

• A: Menge aller Zahlen, die durch 3 und 5 und 7 teilbar sind (entspr. durch 3*5*7 = 105 teilbar)
• B: Menge aller Zahlen, die durch 9 teilbar sind
• C: Menge aller Zahlen, die durch 11 teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von A aber ohne B und C haben =>

$|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$|A|=\frac{10000}{3\ast 5\ast 7}=95$

$|A\cap B|=\frac{10000}{\underset{3gek.!}{\underbrace{9\ast 5\ast 7}}}=31$

$|A\cap C|=\frac{10000}{3\ast 5\ast 7\ast 11}=8$

$|A\cap B\cap C|=\frac{10000}{\underset{3gek.!}{\underbrace{9\ast 5\ast 7\ast 11}}}=2$

$95-31-8+2=58$

40 Zahlen zwischen 1 und 1000 sind durch 3 und 5, aber nicht durch 9 und 11 teilbar.