TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 174

Angabe

Man bestimme die starken Zusammenhangskomponenten und die Reduktion $G_{3R}$ des Graphen $G_{3}$.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)

Ein ungerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn jeder Knoten y von jedem Knoten x aus erreichbar ist.

In einem gerichteten Graph fasst man jene Knoten zu einer starken Zusammenhangskomponente zusammen, die selbst von jedem dieser Knoten erreichbar sind. Sollte ein Knoten nur in einer Richtung erreichbar sein, so wird er selbst zu einer starken Zusammenhangskomponente.

Bei der Reduktion eines Graphen werden die starken Zusammenhangskomponenten zu einem Punkt zusammengefasst und dann verbunden.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Bestimmung der starken Zusammenhangskomponenten

Ein ungerichteter Graph G ist dann zusammenhängend, wenn es zwischen je zwei Knoten von G einen Weg gibt.

Ein starker Zusammenhang liegt dann vor, wenn es zu je 2 Knoten $v,w\in V(G)$ einen Weg von v nach w und einen Weg von w nach v gibt.

Schwach zusammenhängend ist ein Graph dann, wenn sein Schatten $G_{u}$ zusammenhängend ist. Der Schatten entsteht durch das Weglassen der Kantenorientierungen.

Die starken Zusammenhangskomponenten sind

• {1,7,6}
• {2,4,3}
• {5}

Reduktion des Graphen