TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 188

Man bestimme im Graphen $G_{10}$ mit Hilfe von $A_{G_{10}}^3$ die Anzahl der Dreiecke (d.h. die Anzahl der Kreise der Länge 3).

Lösungsvorschlag

$A_{G_{10}}^3$ ist die Adjazenzmatrix von $G_{10}$ zur dritten Potenz.

Lemma:

Sei $G$ ein gerichteter Graph mit Adjazenzmatrix $A$. Dann ist der $(i,j)$.Eintrag von $A^x$ gleich der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge mit Startknoten i und Endknoten j,welche aus x Kanten bestehen.

Adjazenzmatrix $A_{G_{10}}=\begin{array}{cc}& \begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\end{array}\\ \begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}& \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)\end{array}$

Potenzieren von Matrizen:

Quadratische Matrizen können potenziert werden; $A^3=A\cdot A\cdot A$

(siehe auch Wikipädia)

Multiplizieren von Matrizen:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^m{a}_{ik}\cdot b_{kj}$

(siehe auch Wikipädia)

Kubizierte Adjazenzmatrix: $A_{G_{10}}^3=\begin{array}{cc}& \begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\end{array}\\ \begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}& \left(\begin{array}{ccccc}4& 8& 4& 8& 8\\ 8& 4& 8& 4& 8\\ 4& 8& 4& 8& 8\\ 8& 4& 8& 4& 8\\ 8& 8& 8& 8& 8\end{array}\right)\end{array}$

Wir suchen nach Kreisen im Graphen, d.h. Kantenzüge mit gleichem Start- und Endknoten; das sind genau diejenigen, die die Hauptdiagonale der Adjazenzmatrix bilden.

Man kommt also auf 4 + 4 + 4 + 4 + 8 = 24 Kreise (der Länge 3).

Hier bilden aber etliche Kreise dasselbe Dreieck ab: (abc)=(acb)=(bac)=(bca)=(cab)=(cba), sprich alle Permutationen der drei jeweils beteiligten Knoten.

Um auf die Anzahl der Dreiecke zu kommen, sollte man also die Anzahl der Kreise durch die Anzahl der mögl. Permutationen dividieren:

$\frac{4+4+4+4+8}{3!}=4$ Dreiecke.

--Baccus 04:14, 7. Dez 2006 (CET)

Links

• f.thread:49410
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Potenzieren_von_Matrizen
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Matrizenmultiplikation