TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 196

Aufgabe

Unter n Mannschaften wird ein Turnier ausgetragen, und es haben insgesamt schon n + 1 Spiele stattgefunden. Man zeige, dass mindestens eine Mannschaft dann bereits an mindestens 3 Spielen teilgenommen hat.

Lösungsvorschlag

Lösungsweg

Mannschaften: n

Spiele: n+1

Annahme: alle Mannschaften spielen gleich oft

1. Runde: n Mannschaften treffen in ${n \over 2}$ Spielen aufeinander.

2. Runde: n Mannschaften treffen in ${n \over 2}$ Spielen aufeinander.

Spiele: nach 2 Runden sind ${n \over 2}+{n \over 2}={2n \over 2}=n$ Spiele absolviert. Wobei jede Mannschaft 2-mal angetreten ist.

Wenn n+1 Spiele absolviert worden sind müssen 2 Mannschaften 3mal gespielt haben.

Beispiel

Fußball Weltmeisterschaft 1998

Gruppe B: Italien, Chile, Kamerun, Österreich

--> n = 4

--> wenn nun n+1 Spiele (5) absolviert sind, muss mind. 1 Mannschaft mind. 3mal gespielt haben.

folgende Spiele absolviert:

Spiel 1: Italien – Chile 2:2 (1:1)
Spiel 2: Kamerun – Österreich 1:1 (0:0)
Spiel 3: Chile – Österreich 1:1 (0:0)
Spiel 4: Italien – Kamerun 3:0 (1:0)
Spiel 5: Italien – Österreich 2:1 (1:0)

Italien: 3 Spiele
Chile: 2 Spiele
Kaerun: 2 Spiele
Österreich: 3 Spiele

--> Vorraussetzung erfüllt!