TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 224

Angabe

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M={\mathfrak {P}}(A)$, d.h. die Potenzmenge der Menge A, $B\circ C=B\cup C$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass $B,C\in {\mathfrak {P}}(A)$, folgt daraus, dass auch $B\cup C\in {\mathfrak {P}}(A)$. Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: $B\cup (C\cup D)=(B\cup C)\cup D$ für alle $B,C,D\in {\mathfrak {P}}(A)$. Dies ist wahr.

Existenz eines neutralen Elements e: es muss gelten $B\cup e=e\cup B=B\qquad \forall B\in {\mathfrak {P}}(A)$. $e=\varnothing$(leere Menge). Dies ist wahr.

Existenz eines inversen Elements B´ es muss gelten $B\cup B'=B'\cup B=e\qquad \forall B\in {\mathfrak {P}}(A)$. Aber $B\cup B'=B'\cup B\neq \varnothing$. Es existiert kein inverses Element B´.

Es liegt ein Monoid vor.