TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 241

Angabe

Man zeige: Eine nichtleere Teilmenge U einer endlichen Gruppe G ist genau dann Untergruppe von G, wenn

$a,b\in U=>ab\in U$

Lösung

Also ein genau dann..wenn Beweis erfordert immer beide Richtungen zu beweisen.

1. Angenommen es gilt U ist eine eine Untergruppe von G, dann folgt natürlich aus der Abgeschlossenheit von Gruppen die Formel.

2. Angenommen die Formel gilt und U ist eine nichtleere Teilmenge einer ENDLICHEN Gruppe.

Aus der nichtleere der Menge folgt, irgendein a ist drin und aus der Formel folgt auch a*a ist drin. So nun ist das entweder wieder a oder was anderes zum Beispiel b. Sei nun a*a=a dann ist also a Inverselement von a und a Neutralelement ( bzgl. G), da es nur ein Neutralelement pro Gruppe gibt hätten wir also a=e. Sein nun a*a=b, dann ist auch b Element von U und auch a*b, das kann jetzt entweder a oder b oder wieder ein neues Element sagen wir c sein, für a*b=a*a*a=a unn a*b=a*a*a=b wissen wir wieder b bzw a ist neutral Element. Naja jetzt wieder mit c so weiter machen das hört ja nie auf.??? Nein da kommt zum Glück die Bedingung ins Spiel das G und damit auch U endlich sind und irgendwann muss gelten a*a*....*a=a, weil uns einfach die Möglichkeit ein neues noch nicht dagewesenes Element aus U auszuwählen. Also ist e Element von U. und es existiert ein k aus den natürlichen Zahlen so das a^k=e.

Es gilt, wenn nur e Element von U dann ist e*e=e und somit ist das auch das Inverselement von U drin, aber das ist ja nicht der soooo interessante Fall... Existiert nun ein weiteres Element, sagen wir a ungleich e , von dem wissen wir aber schon irgendwann gilt a^k=e, also gilt a*a^(k-1)=e und das ist das dann inverse von a, das natürlich auch in U ist.

Zusammenfassend, e ist in U und für jedes a gilt a^(-1) ist auch in U, abgeschlossen ist U auch, aslo U ist eine Untergruppe von G.

So, das war die Folkloreerklärung, jetzt ein wenig mathematischer.

Die 1. Richtung ist klar, die 2. ergibt sich so:

Sei $a\in U$, so ein Element existiert immer denn es gilt ja $U\neq \{\}$. Ist nun a=e, hat sich alles erledigt. Ansonsten betrachtet man die Menge $\{a^{n}:n\in N\}$ .Nach der Formel sind alle Elemente dieser Menge, auch Elemente von U. Da aber U endlich ist, muss es zwei Indizes $i\ und\ j\ ,mit\ i\neq j$ geben so das gilt: $\ a^{i}=a^{j}$ Sei o.B.d.A. j > i. Dann ist $a^{j-i}=e$, und somit e Element von U.

Weiters gilt $a^{j-i-1}*a=e=a*a^{j-i-1}$. Da aber $a\neq e$ ist $j-i-1>0$, und somit ist $a^{j-i-1}\in U$ das inverse zu a.

QED