TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 244

Man zeige: Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Gilt dies auch für die Vereinigung zweier Untergruppen?

Lösung

Also wir haben eine Gruppe $\left\langle G,*\right\rangle$ und davon zwei Untergruppen.

Ja was sind nun Unterpruppen ?

Untergruppen sind Teilmengen der Gruppe , auf denen mit der selben Verknüpfung auch alle Gruppenaxiome gelten.

Streng mathematisch definiert: Eine Gruppe $\left\langle U,*\right\rangle$ heißt Untergruppe der Gruppe $\left\langle G,*\right\rangle$,wenn U eine Teilmenge von G ist ( $U\subset G$ ).

Und es gibt das sogenannte Untergruppenkriterium:

Sei $U\subset G$ Dann ist genau dann U eine Untergruppe von G wenn gilt:

1. $U\neq \{\}$( U ungleich der leeren Menge)

2. Ist $x\in U$, so auch $-x\in U$ ( von jedem Element muss auch das invers Element drin sein)

3. Sind $g,h\in U$, so auch $g+h\in U$ ( man darf nicht aus der Teilmenge rauskommen)

So jetzt einige Abmachungen für das restliche Beispiel:

Wir nennen die Ausgangsgruppe G und die zwei Untergruppen U und V, Elemente von G,U,V schreiben wir immer mit Indizes damit wir wissen aus welcher Gruppe sie sind, also $x_{g}$, $x_{u}$ oder auch $y_{v}$. Die Neutralelemente von G,U,V schreiben wir als $e_{g}$, $e_{u}$ und $e_{v}$.

Der Durchschnitt von U,V ist : D = $\{x\in G|x\in U\cap x\in V\}$ . Also wenn D das Untergruppenkriterium erfüllt ist D auch eine Untergruppe.

• 1) Es gilt für jede Untergruppe U oder V von G das $e_{g}=e_{u}=e_{v}$ ist, weil es gilt für jedes Element der Untergruppe $x_{u}-x_{u}=e_{u}$ als auch $x_{u}-x_{u}=e_{g}$, weil Elemente einer Untergruppe auch immer Elemente der Obergruppe sind. Also das neutral Element ist in jeder Untergruppe gleich dem Neutralelement der Obergruppe. Damit gilt $e_{g}\in U$ und $e_{g}\in V$. Und somit ist auch $e_{g}\in D$. Und D nicht leer.

• 2) Ist $a_{u}=a_{v}$ also ein Element in beiden enthalten, also ein Element aus D,dann ist, $-a_{u}=-a_{v}$, das zeigt man ganz gleich wie bei dem Neutralelement über die Obergruppe. Das heisst aber das auch $-a_{d}=-a_{u}=-a_{v}$ in D enthalten ist.

• 3) Gilt $a_{u}=a_{v}$ und $b_{u}=b_{v}$, so gilt auch $a_{u}+b_{u}=a_{v}+b_{v}$, wieder mit dem gleichen Argument, und somit ist auch $a_{d}+b_{d}\in D$

Also alle Bedingungen des Untergruppenkriteriums sind erfüllt.

Eine Anmerkung:

Aus dem bisher gesagten sieht man, die kleinste Untergruppe einer Gruppe {e}

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Die Vereinigung zweier Untergruppen ist nicht immer eine Untergruppe.

Warum ?

Weil sei a Element aus U und b Element aus V und gelte a kein Element aus V und b kein Element aus U. dann gibt es keinen Grund warum a+b wieder in U vereinigt V liegen sollte.

Beispiel:

Obergruppe $G=\left\langle ganzeZahlen,+\right\rangle$

Untergruppe 1 $U=\left\langle geradeZahlen,+\right\rangle$

Untergruppe 2 $V=\left\langle durch3teilbareZahlen,+\right\rangle$

z.Bsb: 4 Element von U, 9 Element von V, 13 zwar Element von von G, aber weder Element von U noch von V also auch nicht von der Vereinigung.

Nur wenn die Vereinigung zweier Untergruppen, wieder eine dieser zwei Untergruppen ergibt, ist es auch eine Untergruppe.

Ein Beispiel wäre:

Obergruppe $G=\left\langle reelleZahlen,+\right\rangle$

Untergruppe 1 $G=\left\langle ganzeZahlen,+\right\rangle$

Untergruppe 2 $G=\left\langle rationaleZahlen,+\right\rangle$