TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 244

Man zeige: Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist wieder eine Untergruppe.

Gilt dies auch für die Vereinigung zweier Untergruppen?

Lösung

Also wir haben eine Gruppe $⟨ G, * ⟩$ und davon zwei Untergruppen.

Ja was sind nun Unterpruppen ?

Untergruppen sind Teilmengen der Gruppe , auf denen mit der selben Verknüpfung auch alle Gruppenaxiome gelten.

Streng mathematisch definiert: Eine Gruppe $⟨ U, * ⟩$ heißt Untergruppe der Gruppe $⟨ G, * ⟩$ ,wenn U eine Teilmenge von G ist ( $U \subset G$ ).

Und es gibt das sogenannte Untergruppenkriterium:

Sei $U \subset G$ Dann ist genau dann U eine Untergruppe von G wenn gilt:

1. $U \neq {}$ ( U ungleich der leeren Menge)

2. Ist $x \in U$ , so auch $- x \in U$ ( von jedem Element muss auch das invers Element drin sein)

3. Sind $g, h \in U$ , so auch $g + h \in U$ ( man darf nicht aus der Teilmenge rauskommen)

So jetzt einige Abmachungen für das restliche Beispiel:

Wir nennen die Ausgangsgruppe G und die zwei Untergruppen U und V, Elemente von G,U,V schreiben wir immer mit Indizes damit wir wissen aus welcher Gruppe sie sind, also $x_{g}$ , $x_{u}$ oder auch $y_{v}$ . Die Neutralelemente von G,U,V schreiben wir als $e_{g}$ , $e_{u}$ und $e_{v}$ .

Der Durchschnitt von U,V ist : D = ${x \in G | x \in U \cap x \in V}$ . Also wenn D das Untergruppenkriterium erfüllt ist D auch eine Untergruppe.

1) Es gilt für jede Untergruppe U oder V von G das $e_{g} = e_{u} = e_{v}$ ist, weil es gilt für jedes Element der Untergruppe $x_{u} - x_{u} = e_{u}$ als auch $x_{u} - x_{u} = e_{g}$ , weil Elemente einer Untergruppe auch immer Elemente der Obergruppe sind. Also das neutral Element ist in jeder Untergruppe gleich dem Neutralelement der Obergruppe. Damit gilt $e_{g} \in U$ und $e_{g} \in V$ . Und somit ist auch $e_{g} \in D$ . Und D nicht leer.

2) Ist $a_{u} = a_{v}$ also ein Element in beiden enthalten, also ein Element aus D,dann ist, $- a_{u} = - a_{v}$ , das zeigt man ganz gleich wie bei dem Neutralelement über die Obergruppe. Das heisst aber das auch $- a_{d} = - a_{u} = - a_{v}$ in D enthalten ist.

3) Gilt $a_{u} = a_{v}$ und $b_{u} = b_{v}$ , so gilt auch $a_{u} + b_{u} = a_{v} + b_{v}$ , wieder mit dem gleichen Argument, und somit ist auch $a_{d} + b_{d} \in D$

Also alle Bedingungen des Untergruppenkriteriums sind erfüllt.

Eine Anmerkung:

Aus dem bisher gesagten sieht man, die kleinste Untergruppe einer Gruppe {e}

Die Vereinigung zweier Untergruppen ist nicht immer eine Untergruppe.

Warum ?

Weil sei a Element aus U und b Element aus V und gelte a kein Element aus V und b kein Element aus U. dann gibt es keinen Grund warum a+b wieder in U vereinigt V liegen sollte.

Beispiel:

Obergruppe $G = ⟨ g a n z e Z a h l e n, + ⟩$

Untergruppe 1 $U = ⟨ g e r a d e Z a h l e n, + ⟩$

Untergruppe 2 $V = ⟨ d u r c h 3 t e i l b a r e Z a h l e n, + ⟩$

z.Bsb: 4 Element von U, 9 Element von V, 13 zwar Element von von G, aber weder Element von U noch von V also auch nicht von der Vereinigung.

Nur wenn die Vereinigung zweier Untergruppen, wieder eine dieser zwei Untergruppen ergibt, ist es auch eine Untergruppe.

Ein Beispiel wäre:

Obergruppe $G = ⟨ r e e l l e Z a h l e n, + ⟩$

Untergruppe 1 $G = ⟨ g a n z e Z a h l e n, + ⟩$

Untergruppe 2 $G = ⟨ r a t i o n a l e Z a h l e n, + ⟩$

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 244

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