TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 247

Angabe

Sei U die von (1)(23) erzeugte Untergruppe der $S_{3}$. Man bestimme die Rechtsnebenklassen von U. Ist U ein Normalteiler von $S_{3}$?

Lösungsvorschlag von mnemetz

(Basierend auf f.thread:37765 )

$S_{3}$ besteht aus 6 Elementen (Zyklenschreibweise):

$S_{3}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\text{ }}a:=(1)(2)(3)\\{\text{ }}b:=(123)\\{\text{ }}c:=(213)\\{\text{ }}d:=(1)(23)\\{\text{ }}e:=(2)(13)\\{\text{ }}f:=(3)(12)\end{cases}}$

$S_{3}$ bezeichnet die "Symmetrische Gruppe von 3 Elementen", also die Menge der Permutationen von 3 Elementen mit der Hintereinanderausführung als Operation.

Die von (1)(23) erzeugte Untergruppe ist dann: U = {a, d}

Rechtsnebenklassen findet man so: ${\begin{aligned}U*x&=&\{u*x&|&u\in U\}\end{aligned}}$

Die 3 Rechtsnebenklassen sind:

• U * a = {a*a, d*a} = {a, d}
• U * b = {a*b, d*b} = {b, e}
• U * c = {a*c, d*c} = {c, f}

Für Normalteiler gilt: LNK = RNK

U*b ist aber nicht gleich b*U, also ist U kein Normalteiler von $S_{3}$.

Zitiere ChristophR aus dem Informatikforum: $S_{3}$ sind einfach alle Permutationen von 3 Elementen: man muss es einfach durchspielen: alle an ihrem Platz, zweites und drittes vertauscht, erstes und zweites vertauscht, etc.

Die Untergruppe bekommt man indem man sich überlegt, welche Elemente man zu (1)(23) noch mindestens dazunehmen muss um durch Kombination zweier Elemente der Untergruppe nicht aus dieser herauszukommen (Abgeschlossenheit), und dass es ein inverses und für jedes Element ein neutrales Element gibt. (so dass eben alle Gruppen-Kriterien erfüllt sind)