TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 25

Zeigen Sie, daß ${\sqrt {3}}$ irrational ist!

Euklids Lösungsverfahren

Als sich Euklid im zehnten Buch seiner Elemente an das Problem der Irrationalität von Zahlen heranwagte, ging es ihm darum zu beweisen, daß es eine Zahl geben kann, die nicht als Bruch darstellbar ist. Anstatt zu beweisen, daß $\pi$ irrational ist, untersuchte er die Quadratwurzel von 2, also ${\sqrt {2}}$ [...]. Um zu beweisen, daß ${\sqrt {2}}$ nicht als Bruch dargestellt werden kann, bediente sich Euklid der reductio ad absurdum und nahm zunächst einmal an, daß sie als Bruch aufgeschrieben werden könne. Dann zeigte er, dass dieser hypothetische Bruch immer weiter vereinfacht oder gekürzt werden kann. [...] Euklid zeigt jedoch, daß der hypothetische Bruch, der ${\sqrt {2}}$ darstellen soll, immer weiter und unendlich oft gekürzt werden könnte, ohne je seine einfachste Form zu erlangen. Das ist unsinnig, denn jeder Bruch muss einmal auf seine einfachste Form kommen; deshalb kann der angenommene hypothetische Bruch nicht existieren.

(Zitat aus "Fermats letzter Satz", Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 74)

Einige elementare Eigenschaften von Brüchen und geraden Zahlen müssen wir noch wissen:

1. Wenn wir eine beliebige Zahl nehmen und sie mit 2 multiplizieren, muss die sich ergebende Zahl gerade sein. Das ist praktisch die Definition einer geraden Zahl.
2. Wenn das Quadrat einer Zahl (un-)gerade ist, so muss auch die Zahl selbst (un-)gerade sein.
3. Brüche können vereinfacht werden: ${\frac {16}{24}}$ ist das gleiche wie ${\frac {8}{12}}$. [...} Weiterhin ist ${\frac {8}{12}}$ das gleiche wie ${\frac {4}{6}}$, und ${\frac {4}{6}}$ wiederum das gleiche wie ${\frac {2}{3}}$. Allerdings kann ${\frac {2}{3}}$ nicht mehr weiter vereinfacht werden, weil 2 und 3 keine gemeinamen Teiler haben. Es ist unmöglich, einen Bruch unendlich oft zu vereinfachen.

(Zitat aus "Fermats letzter Satz", Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 344)

Wir nehemn an, ${\sqrt {3}}$ ließe sich als rationale Zahl mit einem Bruch darstellen.

${\sqrt {3}}={\frac {p}{q}}$

Daraus folgt wiederum:

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

Und nach weiterer Umformung:

$3*q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 3 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 3 teilbar: Setzen $p=3r$

$(3r)^{2}=3q^{2}$

$9r^{2}=3q^{2}$

$3r^{2}=q^{2}$

Analog kann man auch für p argumentieren, daher können wir schreiben:

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}={\frac {3*r^{2}}{3*s^{2}}}$

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}={\frac {r^{2}}{s^{2}}}$

Wobei der Bruch r,s ein vereinfachter von p,q ist.

Das ganze könnte man weitermachen mit t,u usw. Aber Brüche können nicht unendlich oft vereinfacht werden => Widerspruch, dass ${\sqrt {3}}$ sich als Bruch darstellen ließe.