TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 261

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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 5 mit der Multiplikation.

Lösung (in Anlehnung an Beispiel 262)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppe der von 0 verschiedenen Restklassen modulo 5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Hier die Operationstafel von

Aus der Operationstafel sieht man, das das neutrale Element ist. Weiters kann man die jeweils inversen Elemente bestimmten. Für die Inversen muß gelten :, daher muß man nur die jeweiligen Elementpaare suchen bei denen mittels der Multiplikation das neutrale Element rauskommt.

Untergruppen von G[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jetzt muß man die Teilmengen von finden, die wiederum einen Gruppe bilden. Da wir wissen, daß das neutrale Element der Gruppe auch neutrales Element der Untergruppe ist, können wir eine Einschränkung bezüglich der möglichen Teilmengen machen.

  • Die Teilmenge muß das neutrale Element beinhalten (und kann somit nicht die leere Menge sein)
  • Es muß sich um eine echte Teilmenge handeln.

Jetzt muß für jede dieser Mengen mit der Multiplikation bestimmt werden ob alle Gruppeneigenschaften zutreffen, d.h. sie müssen

  • abgeschlossen sein
  • assoziativ
  • existenz des neutralen Elementes
  • inverse Elemente

Die Fordernung nach dem neutralen Element erfüllt sich von selbst, da wir das neutrale Element auf jedenfall in unserer Teilmenge haben. Da die Gruppe selbst assoziativ ist, gilt die Assoziativität der Elemente mit der Multiplikation auch für die Teilmengen. Somit wurden für alle gegebenen Teilmengen schon diese zwei Vorraussetzungen erfüllt.

Bestimmung der Abgeschlossenheit und finden der Inversen für die restlichen Teilmengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


  • ist abgeschlossen da , wie man aus der obigen Operationstafel sehen kann
  • hat als inverses , wie man aus der Tabelle mit den inversen Elementen für sehen kann.

Alle hier geforderten Elemente liegen in der Teilmenge, also ist das eine Untergruppe



  • es fehlt das inverse Element zu
  • ist nicht abgeschlossen da und liegt nicht in unserer Teilmenge.



  • es fehlt das inverse Element zu
  • ist nicht abgeschlossen da und liegt nicht in unserer Teilmenge.



  • ist abgeschlossen, siehe Operationstafel
  • die inversen Elemente sind auch in der Teilmenge enthalten lt. Tabelle der Inversen



  • ist nicht abgeschlossen, siehe Operationstafel



  • es fehlt das inverse Element zu oder
  • sind jeweils nicht abgeschlossen, siehe Operationstafel


Somit hat man alle Teilmengen durch und es existieren zwei Untergruppen von G:


weiterer Lösungsweg von Christoph R[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weiters kann man versuchen die Untergruppen durch erzeugen mit den einzelnen Elementen der Grundgruppe zu finden.

Errechnen der Untergruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Element

  • Element





  • Element





  • Element