TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 263

Angabe

Bestimmen sie alle Untergruppen von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$

$\mathbb {Z} _{12}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},{\overline {6}},{\overline {7}},{\overline {8}},{\overline {9}},{\overline {10}},{\overline {11}}\}$

Lösungsvorschlag

Bedingungen für Untergruppe:

wenn $\langle U,+\rangle$ eine Untergruppe ist, dann muss:

- $U\subseteq \mathbb {Z} _{12}$(U eine Teilmenge von $\mathbb {Z} _{12}$ sein)

- und $\langle U,+\rangle$ eine Gruppe sein

U muss:

a) ein neutrales Element(e) enthalten: $e={\overline {0}}$(Bedingung damit U eine Gruppe ist)

b) ein inverses Element(a') enthalten (Bedingung damit U eine Gruppe ist)

c) Die Mächtigkeit von U muss Teiler der Mächtigkeit von $\mathbb {Z} _{12}$ sein (Satz von Lagrange) also die Mächtigkeit von U ist entweder 1,2,3,4,6 oder 12 Elemente

d) U muss abgeschlossen sein (Bedingung damit U eine Gruppe ist)

e) muss assoziativ sein (gilt für Rechnen in Restklassen) -> e ist erfüllt

Mögliche U finden

Mögliche U unter der Betrachtung der Bedingungen a), b) und c):

dazu erstmal a'(inverses Element zu jedem Element berechnen):

$a+a'=e$

${\overline {11}}+{\overline {1}}={\overline {0}}$

${\overline {10}}+{\overline {2}}={\overline {0}}$

${\overline {9}}+{\overline {3}}={\overline {0}}$

${\overline {8}}+{\overline {4}}={\overline {0}}$

${\overline {7}}+{\overline {5}}={\overline {0}}$

${\overline {6}}+{\overline {6}}={\overline {0}}$

${\overline {5}}+{\overline {7}}={\overline {0}}$

${\overline {4}}+{\overline {8}}={\overline {0}}$

${\overline {3}}+{\overline {9}}={\overline {0}}$

${\overline {2}}+{\overline {10}}={\overline {0}}$

${\overline {1}}+{\overline {11}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}+{\overline {0}}={\overline {0}}$

Man sieht, dass ausser bei ${\overline {6}}$ und bei ${\overline {0}}$ immer zwei Elemente gebraucht werden damit ein Element und das zugehörige inverse Element in der Menge vorkommen können (Element und zugehöriges inverses Element müssen in die Menge, damit eine Gruppe vorliegen kann)

mögliche U:

1 Element: $\{{\overline {0}}\}$

2 Elemente: $\{{\overline {0}},{\overline {6}}\}$

3 Elemente:

$\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {11}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

4 Elemente:

-> neutrales Element muss vorhanden sein: ${\overline {0}}$ muss in die Menge

-> 3 Stellen noch "frei" -> eine Stelle mit ${\overline {6}}$ füllen, damit nur mehr zwei Stellen "frei" sind und diese mit a und a' besetzen

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

6 Elemente:

-> ${\overline {0}}$ muss in die Menge

-> ${\overline {6}}$ muss in die Menge

-> die restlichen 4 Stellen mit zweimal a und zugehöriges a' füllen

mögliche a und a':

${\overline {1}},{\overline {11}}$

${\overline {2}},{\overline {10}}$

${\overline {3}},{\overline {9}}$

${\overline {4}},{\overline {8}}$

${\overline {5}},{\overline {7}}$

->

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {2}},{\overline {10}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {1}},{\overline {11}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {4}},{\overline {8}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$

12 Elemente: $\mathbb {Z} _{12}$

mögliche U auf Abgeschlossenheit überprüfen

alle $\langle U,+\rangle$ müssen jetzt noch auf Abgeschlossenheit überprüfen: Wenn Restklassen in U zusammengezählt eine Restklasse ergeben, die sich nicht in U befindet so bildet $\langle U,+\rangle$ keine Gruppe:

-> U:

$\{{\overline {0}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\}$

$\{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\}$

$\{\mathbb {Z} _{12}\}$

Ergebnis

Untergruppen von $\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$:

$\langle \{{\overline {0}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {4}},{\overline {8}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {3}},{\overline {9}}\},+\rangle$

$\langle \{{\overline {0}},{\overline {6}},{\overline {2}},{\overline {10}},{\overline {4}},{\overline {8}}\},+\rangle$

$\langle \mathbb {Z} _{12},+\rangle$

--Sanssecours 13:01, 28. Dez 2005 (CET)