TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 284
Man soll beweisen, ob M={1,2,3} mit der Addition mod 3 und der Multiplikation mod 4 einen Ring, Integritätsring oder Körper bildet.
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Damit es sich um einen Ring handelt, muss folgendes gelten: <M,+> = kommutative Gruppe <M,*> = Halbgruppe Distributivgesetze: a*(b+c)=ab+ac und (a+b)*c=ac+bc für a,b,c aus M
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Man kann <M,+> mittels Tabelle überprüfen. Man erhält
+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1
<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>
Das Assoziativgesetz gilt, da es in Z, Zm und Restklassen gilt. Das neutrale Element ist 0 und jedes Element hat ein inverses Element. Das Kommutativgesetzt wird ebenfalls vererbt.
Somit erfüllt <M,+> die Voraussetzungen
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Selbige Überprüfung macht man nun für <M,*> und erhält
- 0 1 2
0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 0
<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>
Das Assoziativgesetz wird vererbt Der Rest gilt nicht (produkt-null-satz)
Es handelt sich also um eine Halbgruppe, das reicht aus
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Nun muss man beweisen, dass die Distributivgesetze gelten. Man nimmt beispielsweise an: a=2, b=1, c=2 und probiert:
2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 0 = 2
Wie man sieht gilt das Distributivgesetz nicht (immer), daher ist das Ganze (hoffentlich) kein Ring, daher auch kein Integritätsring bzw Körper.