TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 297

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Seien und ist ein Ring. Man zeige, daß dann auch ein Ring ist.






Hinweise zur Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist ein Ring, wenn

  • eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
  • eine Halbgruppe ist und
  • distributiv ist.

Analoges gilt für

Ausserdem ist folgendermassen definiert

Lösung von TheDon[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Ring, also

  • eine kommutative Gruppe und
  • eine Halbgruppe und
  • gilt das Distributivgesetz?

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Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



abgeschlossen

Assoziativ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]




Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]




Neutrales Element aus
Neutrales Element aus

ist das Neutrale Element von .

Inverse Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]







ist das inverse Element zu .

Kommutativ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist eine kommitative Gruppe.

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Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]



abgeschlossen

Assoziativ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]




Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist eine Halbgruppe

distributiv [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Distributivität von


Distributivität von


Distributivität von




Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch distributiv .

Schlusssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist ein Ring