Seien
und
ist ein Ring. Man zeige, daß dann auch
ein Ring ist.




ist ein Ring, wenn
eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
eine Halbgruppe ist und
distributiv
ist.
Analoges gilt für 
Ausserdem ist
folgendermassen definiert

Ist
ein Ring, also
eine kommutative Gruppe und
eine Halbgruppe und
- gilt das Distributivgesetz?
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abgeschlossen
![{\displaystyle [(a,b)+_{3}(c,d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3ea0a403e7c4bf46f5511b005c074c6b&mode=mathml)
![{\displaystyle [(a+_{1}c,b+_{2}d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c+_{1}e,d+_{2}f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=195c29bbca73783126cc524a533ed903&mode=mathml)

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.


Neutrales Element aus 
Neutrales Element aus 
ist das Neutrale Element von
.




ist das inverse Element zu
.
Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.
ist eine kommitative Gruppe.
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abgeschlossen
![{\displaystyle [(a,b)*_{3}(c,d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c,d)*_{3}(e,f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f3fd4819f56aee81770ba2478743e72&mode=mathml)
![{\displaystyle [(a*_{1}c,b*_{2}d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c*_{1}e,d*_{2}f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=21511f652fb09f128e1c095a8164a803&mode=mathml)

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.
ist eine Halbgruppe
distributiv
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Distributivität von 

Distributivität von 

Distributivität von 
![{\displaystyle (a,b)*_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]=(a,b)*_{3}(c,d)+_{3}(a,b)*_{3}(e,f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c8283e3d5dfd3a73f3512dca6f7267e9&mode=mathml)
![{\displaystyle (a,b)*_{3}[c+_{1}e,d+_{2}f]=(a*_{1}c,b*_{2}d)+_{3}(a*_{1}e,b*_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3317e0c4ab2d61f72b30c8c32217fd8a&mode=mathml)


Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch
distributiv
.
ist ein Ring