Seien
und
ist ein Ring. Man zeige, daß dann auch
ein Ring ist.
![{\displaystyle (a,b)+_{3}(c,d)=(a+_{1}c,b+_{2}d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=455de003ac5bdaeaf02754e42a90a3d9&mode=mathml)
![{\displaystyle (a,b)*_{3}(c,d)=(a*_{1}c,b*_{2}d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4d9c1b191b842d80b0aa7bb69be0fc8a&mode=mathml)
![{\displaystyle a,c\in R_{1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f26b5e6fe9d1ffe5db0908389816fd1e&mode=mathml)
![{\displaystyle b,d\in R_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bc2d8587846539ad5bb519a4a1306c3b&mode=mathml)
ist ein Ring, wenn
eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
eine Halbgruppe ist und
distributiv
ist.
Analoges gilt für ![{\displaystyle R_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dcaf993833e8825e80c88a3a9eef9ed3&mode=mathml)
Ausserdem ist
folgendermassen definiert
![{\displaystyle R_{1}\times R_{2}:=(a,b)|a\in R_{1}\wedge b\in R_{2}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6af1fdb1823fbabb5f75cf0b395c318e&mode=mathml)
Ist
ein Ring, also
eine kommutative Gruppe und
eine Halbgruppe und
- gilt das Distributivgesetz?
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![{\displaystyle (a,b)+_{3}(c,d)=(a+_{1}c,b+_{2}d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4da2b71f9eba6aa47ea16f531d83a3f4&mode=mathml)
abgeschlossen
![{\displaystyle [(a,b)+_{3}(c,d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3ea0a403e7c4bf46f5511b005c074c6b&mode=mathml)
![{\displaystyle [(a+_{1}c,b+_{2}d)]+_{3}(e,f)=(a,b)+_{3}[(c+_{1}e,d+_{2}f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=195c29bbca73783126cc524a533ed903&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+_{1}c+_{1}e,b+_{2}d+_{2}f)=(a+_{1}c+_{1}e,b+_{2}d+_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ca425408ae7ff04cf25ab6556ff948bc&mode=mathml)
Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.
![{\displaystyle (a,b)+_{3}(x,y)=(a,b)=(x,y)+_{3}(a,b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6322aff84672fb25039389e610118030&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+_{1}x,b+_{2}y)=(a,b)=(a+_{1}x,b+_{2}y)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6115e7b046ce4df715bcc41dcc847550&mode=mathml)
Neutrales Element aus ![{\displaystyle R_{1}(e_{1})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d18c5401d4300768c0aee83b3da03871&mode=mathml)
Neutrales Element aus ![{\displaystyle R_{2}(e_{2})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=45397230809fef87a635a5be7118f893&mode=mathml)
ist das Neutrale Element von
.
![{\displaystyle (a,b)+_{3}(c,d)=(e_{1},e_{2})=(c,d)+_{3}(a,b)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cabb498261759c7813771a0270f633f8&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+_{1}c,b+_{2}d)=(e_{1},e_{2})=(a+_{1}c,b+_{2}d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=1a604e693240a671a4209cafcd459285&mode=mathml)
![{\displaystyle a+_{1}c=e_{1}\Rightarrow c=-a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=80f3af38eca669efe8a34a1ce5e413d7&mode=mathml)
![{\displaystyle b+_{1}d=e_{2}\Rightarrow d=-b}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7d4b196231b09f78b448edcdd5005d9d&mode=mathml)
ist das inverse Element zu
.
Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.
ist eine kommitative Gruppe.
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![{\displaystyle (a,b)*_{3}(c,d)=(a*_{1}c,b*_{2}d)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5f107a71c133692db1dae54f4ab7a109&mode=mathml)
abgeschlossen
![{\displaystyle [(a,b)*_{3}(c,d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c,d)*_{3}(e,f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6f3fd4819f56aee81770ba2478743e72&mode=mathml)
![{\displaystyle [(a*_{1}c,b*_{2}d)]*_{3}(e,f)=(a,b)*_{3}[(c*_{1}e,d*_{2}f)]}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=21511f652fb09f128e1c095a8164a803&mode=mathml)
![{\displaystyle (a*_{1}c*_{1}e,b*_{2}d*_{2}f)=(a*_{1}c*_{1}e,b*_{2}d*_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=214c19f53cf9d8426836dc271099fdca&mode=mathml)
Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.
ist eine Halbgruppe
distributiv
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Distributivität von ![{\displaystyle \langle R_{1},+_{1},*_{1}\rangle }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d905d3910fe6827d62d3e14a13e426b1&mode=mathml)
![{\displaystyle a*_{1}(b+_{1}c)=a*_{1}b+_{1}a*_{1}c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=865cb808f344317d9eccf1116308786e&mode=mathml)
Distributivität von ![{\displaystyle \langle R_{2},+_{2},*_{2}\rangle }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=83faaae6785e415c102fba43a2d8e877&mode=mathml)
![{\displaystyle a*_{2}(b+_{2}c)=a*_{2}b+_{2}a*_{2}c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8862a9c97059ee16c486cfb01c413c31&mode=mathml)
Distributivität von ![{\displaystyle \langle R_{1}\times R_{2},+_{3},*_{3}\rangle }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b597278d4a7a5c7f21da68ad7b4b99c7&mode=mathml)
![{\displaystyle (a,b)*_{3}[(c,d)+_{3}(e,f)]=(a,b)*_{3}(c,d)+_{3}(a,b)*_{3}(e,f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c8283e3d5dfd3a73f3512dca6f7267e9&mode=mathml)
![{\displaystyle (a,b)*_{3}[c+_{1}e,d+_{2}f]=(a*_{1}c,b*_{2}d)+_{3}(a*_{1}e,b*_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3317e0c4ab2d61f72b30c8c32217fd8a&mode=mathml)
![{\displaystyle (a*_{1}(c+_{1}e),b*_{2}(d+_{2}f))=(a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=bf0a6de7ac423a4d48712d2a8a715abc&mode=mathml)
![{\displaystyle (a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)=(a*_{1}c+_{1}a*_{1}e,b*_{2}d+_{2}b*_{2}f)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ae942bea02d06ac037e3a1287e90c162&mode=mathml)
Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch
distributiv
.
ist ein Ring