Seien und ist ein Ring. Man zeige, daß dann auch ein Ring ist.
ist ein Ring, wenn
- eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
- eine Halbgruppe ist und
- distributiv ist.
Analoges gilt für
Ausserdem ist folgendermassen definiert
Ist ein Ring, also
- eine kommutative Gruppe und
- eine Halbgruppe und
- gilt das Distributivgesetz?
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abgeschlossen
Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.
Neutrales Element aus
Neutrales Element aus
ist das Neutrale Element von .
ist das inverse Element zu .
Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.
ist eine kommitative Gruppe.
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abgeschlossen
Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.
ist eine Halbgruppe
distributiv [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Distributivität von
Distributivität von
Distributivität von
Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch distributiv .
ist ein Ring