TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 297

Seien $⟨R_1,{+}_1,{\ast }_1⟩$ und $⟨R_2,{+}_2,{\ast }_2⟩$ ist ein Ring. Man zeige, daß dann auch $R_1\times R_2$ ein Ring ist.

$(a,b){+}_3(c,d)=(a{+}_{1}c,b{+}_{2}d)$
$(a,b){\ast }_3(c,d)=(a{\ast }_{1}c,b{\ast }_{2}d)$
$a,c\in R_1$
$b,d\in R_2$

Hinweise zur Lösung

$⟨R_1,{+}_1,{\ast }_1⟩$ ist ein Ring, wenn

• $⟨R_1,{+}_1⟩$ eine kommutative (=abelsche) Gruppe ist und
• $⟨R_1,{\ast }_1⟩$ eine Halbgruppe ist und
• ${\ast }_1$ distributiv ${+}_1$ ist.
  
  

Analoges gilt für $R_2$

Ausserdem ist $R_1\times R_2$ folgendermassen definiert

• $R_1\times R_2:=(a,b)|a\in R_1\wedge b\in R_2$

Lösung von TheDon

Ist $⟨R_1\times R_2,{+}_3,{\ast }_3⟩$ ein Ring, also

• $⟨R_1\times R_2,{+}_3⟩$ eine kommutative Gruppe und
• $⟨R_1\times R_2,{\ast }_3⟩$ eine Halbgruppe und
• gilt das Distributivgesetz?

$⟨R_1\times R_2,{+}_3⟩$

Abgeschlossenheit

$(a,b){+}_3(c,d)=(a{+}_{1}c,b{+}_{2}d)$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{a,c\in R_1\Rightarrow a{+}_{1}c\in R_1}{b,d\in R_2\Rightarrow b{+}_{2}d\in R_2}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativ

$[(a,b){+}_3(c,d)]{+}_3(e,f)=(a,b){+}_3[(c,d){+}_3(e,f)]$
$[(a{+}_{1}c,b{+}_{2}d)]{+}_3(e,f)=(a,b){+}_3[(c{+}_{1}e,d{+}_{2}f)]$
$(a{+}_{1}c{+}_{1}e,b{+}_{2}d{+}_{2}f)=(a{+}_{1}c{+}_{1}e,b{+}_{2}d{+}_{2}f)$

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Neutrales Element

$(a,b){+}_3(x,y)=(a,b)=(x,y){+}_3(a,b)$
$(a{+}_{1}x,b{+}_{2}y)=(a,b)=(a{+}_{1}x,b{+}_{2}y)$

$a{+}_{1}x=a\Rightarrow x=$Neutrales Element aus $R_1(e_1)$
$b{+}_{2}y=b\Rightarrow y=$Neutrales Element aus $R_2(e_2)$

$(e_1,e_2)$ ist das Neutrale Element von $R_1\times R_2$.

Inverse Elemente

$(a,b){+}_3(c,d)=(e_1,e_2)=(c,d){+}_3(a,b)$
$(a{+}_{1}c,b{+}_{2}d)=(e_1,e_2)=(a{+}_{1}c,b{+}_{2}d)$

$a{+}_{1}c=e_1\Rightarrow c=-a$
$b{+}_{1}d=e_2\Rightarrow d=-b$

$(-a,-b)$ ist das inverse Element zu $(a,b)$.

Kommutativ

Die Kommutativität haben wir bereits beim neutralen bzw. inversen Element gezeigt.

Schlussfolgerung

$⟨R_1\times R_2,{+}_3⟩$ ist eine kommitative Gruppe.

$⟨R_1\times R_2,{\ast }_3⟩$

Abgeschlossenheit

$(a,b){\ast }_3(c,d)=(a{\ast }_{1}c,b{\ast }_{2}d)$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{a,c\in R_1\Rightarrow a{\ast }_{1}c\in R_1}{b,d\in R_2\Rightarrow b{\ast }_{2}d\in R_2}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativ

$[(a,b){\ast }_3(c,d)]{\ast }_3(e,f)=(a,b){\ast }_3[(c,d){\ast }_3(e,f)]$
$[(a{\ast }_{1}c,b{\ast }_{2}d)]{\ast }_3(e,f)=(a,b){\ast }_3[(c{\ast }_{1}e,d{\ast }_{2}f)]$
$(a{\ast }_{1}c{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}d{\ast }_{2}f)=(a{\ast }_{1}c{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}d{\ast }_{2}f)$

Beide Seiten der Gleichung sind tatsächlich ident, daher ist auch die Assoziativität gegeben.

Schlussfolgerung

$⟨R_1\times R_2,{\ast }_3⟩$ ist eine Halbgruppe

${\ast }_3$ distributiv ${+}_3$

Distributivität von $⟨R_1,{+}_1,{\ast }_1⟩$
$a{\ast }_1(b{+}_{1}c)=a{\ast }_{1}b{+}_{1}a{\ast }_{1}c$

Distributivität von $⟨R_2,{+}_2,{\ast }_2⟩$
$a{\ast }_2(b{+}_{2}c)=a{\ast }_{2}b{+}_{2}a{\ast }_{2}c$

Distributivität von $⟨R_1\times R_2,{+}_3,{\ast }_3⟩$
$(a,b){\ast }_3[(c,d){+}_3(e,f)]=(a,b){\ast }_3(c,d){+}_3(a,b){\ast }_3(e,f)$
$(a,b){\ast }_3[c{+}_{1}e,d{+}_{2}f]=(a{\ast }_{1}c,b{\ast }_{2}d){+}_3(a{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}f)$
$(a{\ast }_1(c{+}_{1}e),b{\ast }_2(d{+}_{2}f))=(a{\ast }_{1}c{+}_{1}a{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}d{+}_{2}b{\ast }_{2}f)$
$(a{\ast }_{1}c{+}_{1}a{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}d{+}_{2}b{\ast }_{2}f)=(a{\ast }_{1}c{+}_{1}a{\ast }_{1}e,b{\ast }_{2}d{+}_{2}b{\ast }_{2}f)$

Da wieder beide Gleichungsseiten ident sind, ist auch ${\ast }_3$ distributiv ${+}_3$.

Schlusssatz

$⟨R_1\times R_2,{+}_3,{\ast }_3⟩$ ist ein Ring