TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 30

$x_{k}+1=x_{m}~+~8k$

$~\Rightarrow x_{k}-x_{k-1}=8(k-1)...(1)$

$~\Rightarrow x_{k-1}-x_{k-2}=8(k-2)...(2)$

$\Rightarrow x_{2}-x_{1}=8~x|.........(k-1)$

$\Rightarrow (1)+(2)+.......(k-1)$

$x_{k}-x_{k-1}+x_{k-1}-x_{k-2}.........x_{3}-x_{2}+x_{2}-x_{1}$

$8[(k-2)+(k-1)+.....+2+1]$

Links: $x_{k}-x_{1}$

Rechts: $8[{\frac {1+(k-1)}{2}}~(k-1)]$

$=4k(k-1)$

$4k^{2}-4k$

$\Rightarrow x_{k}=4k^{2}-4k+x_{1}$

$\Rightarrow x_{k}=4k^{2}-4k+1$

$\Rightarrow x_{k}=(2k-1)^{2}$

Lösung von Jacko

Man zeige mittel vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge $x_{1}=1$ und $x_{k+1}=x_{k}+8k$ für $1\leq k$ allgemein gilt:
$x_{n}=(2n-1)^{2}$, für alle $1\leq n$

Lösung

Induktionsanfang
k=1 : n=1 $x_{2}=1+8=9$
$x_{2}=(4-1)^{2}=9$

damit ist der Induktionsanfang bewiesen (9=9)
Induktionsschritt
- Induktionsvorraussetzung
$x_{n}=(2n-1)^{2}$, für alle $1\leq n$

- Induktionsbehauptung - n -> n+1

zuerst wird folgender Term für n+1 berechnet: $x_{n}=(2n-1)^{2}$
$x_{n+1}=(2(n+1)-1)^{2}=(2n+2-1)^{2}=(2n+1)^{2}$

jetzt wird der zweite Term für n+1 berechnet: $x_{k+1}=x_{k}+8k$
$x_{n+1}=x_{n}+8n=(2n-1)^{2}+8n=4n^{2}-4n+1+8n=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}$

$(2n+1)^{2}=(2n+1)^{2}$
q.e.d.