TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 33

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{j=2}^{n}j(j-1)={\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}\qquad (n\geq 2)$

Induktionsanfang: $n=2$

Ergibt

$2(2-1)={\frac {(2-1)2(2+1)}{3}}$

$2={\frac {1*2*3}{3}}$

Induktionsvorrausetzung: Es muss gezeigt werden dass gilt:

$\sum _{j=2}^{n+1}j(j-1)={\frac {(n)(n+1)(n+2)}{3}}$

(Alle n durch n+1 ersetzt)

Induktionsschluss: (Nachweis der Induktionsvorraussetzung)

Die rechte Seite wird mit $(n+1)(n+1-1)$ addiert. Im folgenden wird nur die rechte Seite gerechnet - es soll sich ergeben: ${\frac {(n)(n+1)(n+2)}{3}}$

${\frac {(n-1)n(n+1)}{3}}+(n+1)(n)=$

$={\frac {(n-1)n(n+1)+3(n+1)(n)}{3}}=$

$={\frac {n((n-1)(n+1)+3(n+1))}{3}}=$

$={\frac {n(n+1)((n-1)+3)}{3}}=$

$={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

Q.e.d.