TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 34

Aufgabe

Man beweise mittels vollständiger Induktion

$\sum \limits _{j=1}^{n}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)$, wobei $\left({n\geq 1}\right)$

Beweis

(i) Induktionsanfang
$n=1:n=1\to 2={1 \over 6}\left({2+6+4}\right)={{12} \over 6}=2$

(ii) Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung:

$\sum \limits _{j=1}^{n}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)$ für ein beliebiges $n\geq 1$

Induktionsbehauptung:

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={n \over 6}\left({2n^{2}+6n+4}\right)+(n+1)(n+2)$



$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n\left({n+1}\right)\left({2n+4}\right)+\left({n+1}\right)\left({6n+12}\right)} \over 6}$

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{\left({n+1}\right)\left({2n^{2}+10n+12}\right)} \over 6}$

$\sum \limits _{j=1}^{n+1}j\left({j+1}\right)={{n+1} \over 6}\left({2\left({n+1}\right)^{2}+6\left({n+1}\right)+4}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ q.e.d.$