TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 34

Aufgabe

Man beweise mittels vollständiger Induktion

$\sum _{j=1}^{n}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)$, wobei $\left(n\ge 1\right)$

Beweis

(i) Induktionsanfang
$n=1:n=1\to 2=\frac{1}{6}\left(2+6+4\right)=\frac{12}{6}=2$

(ii) Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{j=1}^{n}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)$ für ein beliebiges $n\ge 1$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n}{6}\left(2n^2+6n+4\right)+(n+1)(n+2)$



$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+4\right)+\left(n+1\right)\left(6n+12\right)}{6}$

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+10n+12\right)}{6}$

$\sum _{j=1}^{n+1}j\left(j+1\right)=\frac{n+1}{6}\left(2{\left(n+1\right)}^2+6\left(n+1\right)+4\right)q.e.d.$