TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 40

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{l=1}^n\frac{l}{3^l}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4\ast 3^n}$

Induktionsanfang: n = 1

Induktionsvoraussetzung: es muss gezeigt werden das gilt $\sum _{l=1}^{n+1}\frac{l}{3^l}=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

Induktionsschluss: Zur rechten Seite wird $\frac{n+1}{{\mathrm{3}}^{n+1}}$ addiert.

Um die Nenner auf gleich zu bringen wird $\frac{2n+3}{4\ast 3^n}$ mit 3 multipliziert und $\frac{n+1}{{\mathrm{3}}^{n+1}}$ mit 4 multipliziert. Dann kommt heraus

$\frac{3}{4}-\frac{3(2n+3)-4(n+1)}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

Man darf dabei nicht vergessen das der Bruch subtrahiert wird und daher die Vorzeichen wechseln.

Danach die Klammern auflösen bis folgendes übrig bleibt:

$=\frac{3}{4}-\frac{6n+9-4n-4}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

$=\frac{3}{4}-\frac{2n+5}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

$=\frac{3}{4}-\frac{2(n+1)+3}{4\ast {\mathrm{3}}^{n+1}}$

Q.d.e. oder so...