TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 40

Man beweise mittels vollständiger Induktion:

$\sum _{l=1}^{n}{\frac {l}{3^{l}}}={\frac {3}{4}}-{\frac {2n+3}{4*3^{n}}}$

Induktionsanfang: n = 1

Induktionsvoraussetzung: es muss gezeigt werden das gilt $\sum _{l=1}^{n+1}{\frac {l}{3^{l}}}={\frac {3}{4}}-{\frac {2(n+1)+3}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

Induktionsschluss: Zur rechten Seite wird ${\frac {n+1}{\mathrm {3} ^{n+1}}}$ addiert.

Um die Nenner auf gleich zu bringen wird ${\frac {2n+3}{4*3^{n}}}$ mit 3 multipliziert und ${\frac {n+1}{\mathrm {3} ^{n+1}}}$ mit 4 multipliziert. Dann kommt heraus

${\frac {3}{4}}-{\frac {3(2n+3)-4(n+1)}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

Man darf dabei nicht vergessen das der Bruch subtrahiert wird und daher die Vorzeichen wechseln.

Danach die Klammern auflösen bis folgendes übrig bleibt:

$={\frac {3}{4}}-{\frac {6n+9-4n-4}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

$={\frac {3}{4}}-{\frac {2n+5}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

$={\frac {3}{4}}-{\frac {2(n+1)+3}{4*\mathrm {3} ^{n+1}}}$

Q.d.e. oder so...