TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n\geq 0$ die angegebene Ungleichung gilt:

$9n^{3}-3\leq 8^{n}$

Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

$n=1;\;9*1^{3}-3=6<8^{1}\,(8)$ richtig
$n=2;\;9*2^{3}-3=69<8^{2}\,(64)$ falsch
$n=3;\;9*3^{3}-3=240<8^{3}\,(512)$ richtig
$n=4;\;9*4^{3}-3=573<8^{4}\,(4096)$ richtig.

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt, da $8^{n}$ stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für $n=3$ ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $9(n+1)^{3}-3\leq 8^{n+1}$

Induktionsschluß:

$9*(n+1)^{3}-3=8*(9n^{3}-3)\leq 8^{n+1}=8*8^{n}\quad |{\text{Term}}*8$
$9*(n+1)^{3}\leq 72*n^{3}-21\quad |{\text{Term}}/9$
$(n+1)^{3}\leq 8n^{3}-7/3$
$n^{3}+3n^{2}+3n+1\leq 8n^{3}-7/3\quad |-n^{3}$
$3n^{2}+3n+1\leq 7n^{3}-7/3\quad$| Ersetzen n durch höchste Potenz
$3n^{2}+3n^{2}\leq 7n^{3}$

und $6n^{2}$ sind bei $n\geq 3$ immer kleiner als $7n^{3}$

Hapi