TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 44

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche $n\ge 0$ die angegebene Ungleichung gilt:

$9n^3-3\le 8^n$

Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

$n=1;9\ast 1^3-3=6<8^1(8)$ richtig
$n=2;9\ast 2^3-3=69<8^2(64)$ falsch
$n=3;9\ast 3^3-3=240<8^3(512)$ richtig
$n=4;9\ast 4^3-3=573<8^4(4096)$ richtig.

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\ge 3$ gilt, da $8^n$ stärker wächst als n³.

Der Induktionsanfang für $n=3$ ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\ge 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $9(n+1{)}^3-3\le 8^{n+1}$

Induktionsschluß:

$9\ast (n+1{)}^3-3=8\ast (9n^3-3)\le 8^{n+1}=8\ast 8^n|\text{Term}\ast 8$
$9\ast (n+1{)}^3\le 72\ast n^3-21|\text{Term}/9$
$(n+1{)}^3\le 8n^3-7/3$
$n^3+3n^2+3n+1\le 8n^3-7/3|-n^3$
$3n^2+3n+1\le 7n^3-7/3$| Ersetzen n durch höchste Potenz
$3n^2+3n^2\le 7n^3$

und $6n^2$ sind bei $n\ge 3$ immer kleiner als $7n^3$

Hapi