TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 46

Man untersuche durch vollständige Induktion, für welche n >= 0 folgende Ungleichung gilt:

$3n+2^{n}\leq 3^{n}$

Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

  $n=1\qquad 3*1+2^{1}\leq 3^{1}\quad \Leftrightarrow \quad 5\leq 3\qquad {\text{falsch}}$

  $n=2\qquad 3*2+2^{2}\leq 3^{2}\quad \Leftrightarrow \quad 10\leq 9\qquad {\text{falsch}}$

  $n=3\qquad 3*3+2^{3}\leq 3^{3}\quad \Leftrightarrow \quad 17\leq 27\qquad {\text{wahr}}$

  $n=4\qquad 3*4+2^{4}\leq 3^{4}\quad \Leftrightarrow \quad 28\leq 81\qquad {\text{wahr}}$

  $n=5\qquad 3*5+2^{5}\leq 3^{5}\quad \Leftrightarrow \quad 47\leq 243\qquad {\text{wahr}}$

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt, da $3^{n}$ stärker wächst als $2^{n}$.

Der Induktionsanfang für $n=3$ ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\geq 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $3(n+1)+2^{n+1}\leq 3^{n+1}$

Induktionsschluß:

 $3*(n+1)+2^{n+1}\leq 3*(3n+2^{n})\leq 3^{n+1}=3*3^{n}$  | Term * 3
   $3n+3+2*2^{n}\leq 9*n+3*2^{n}$	               |$-2*2^{n},-3*n$
                  $3\leq 6*n+2^{n}$

und die Gleichung ist für alle $n\geq 3$ bewiesen.

Hapi