TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 46

Man untersuche durch vollständige Induktion, für welche n >= 0 folgende Ungleichung gilt:

$3n+2^n\le 3^n$

Lösungsvorschlag

Als ersten Schritt untersuchen wir die Gleichung durch Einsetzen für n:

  $n=13\ast 1+2^1\le 3^1\iff 5\le 3\text{falsch}$

  $n=23\ast 2+2^2\le 3^2\iff 10\le 9\text{falsch}$

  $n=33\ast 3+2^3\le 3^3\iff 17\le 27\text{wahr}$

  $n=43\ast 4+2^4\le 3^4\iff 28\le 81\text{wahr}$

  $n=53\ast 5+2^5\le 3^5\iff 47\le 243\text{wahr}$

Dies ergibt die Vermutung, daß die Gleichung für alle $n\ge 3$ gilt, da $3^n$ stärker wächst als $2^n$.

Der Induktionsanfang für $n=3$ ist bereits bewiesen.

Die Induktionsvoraussetzung, daß die Gleichung für alle $n\ge 3$ gilt.

Die Induktionsbehauptung: $3(n+1)+2^{n+1}\le 3^{n+1}$

Induktionsschluß:

 $3\ast (n+1)+2^{n+1}\le 3\ast (3n+2^n)\le 3^{n+1}=3\ast 3^n$  | Term * 3
   $3n+3+2\ast 2^n\le 9\ast n+3\ast 2^n$	               |$-2\ast 2^n,-3\ast n$
                  $3\le 6\ast n+2^n$

und die Gleichung ist für alle $n\ge 3$ bewiesen.

Hapi