TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 47

Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche n>=0 folgende Ungleichung gilt:

$(n+1).3^{n}\leq 4^{n}$ (ist auch Induktionsvoraussetzung, d.h. wir gehen davon aus, dass dies eine wahre Aussage ist)

Durch herumprobieren kommt man darauf, dass diese Ungleichung ab 8 gilt. Falls jemand weiß, wie man sie löst, kann er bitte die Lösung reinschreiben.

Durch das Induktionsprinzip erhalten wir die Ungleichung:
$(n+2).3^{n+1}\leq 4^{n+1}$

$(n+2).3^{n+1}\leq 4^{n}*4$

${\frac {(n+2).3^{n+1}}{4}}\leq 4^{n}$

Durch diverse Umformungen erhalten wir obige Ungleichung, wo wir auf der rechten Seite wieder eine Ausdruck haben ($4^{n}$), der in der ursprünglichen wahren Aussage vorhanden ist, dass Prinzip der vollständigen Induktion wäre jetzt, die ursprüngliche Aussage einfließen lassen, bis wir wieder auf eine wahre Aussage kommen.

${\frac {(n+2).3.3^{n}}{4}}\leq 4^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq 4^{n}$

Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung: $(n+1).3^{n}\leq 4^{n}$

Daraus folgt die Abschätzung: ${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq (n+1).3^{n}\leq 4^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2).3^{n}\leq (n+1).3^{n}$

${\frac {3}{4}}.(n+2)\leq n+1$

${\frac {3}{4}}.n+{\frac {3}{2}}\leq n+1$

$0\leq {\frac {1}{4}}.n-{\frac {1}{2}}$

Also gilt die Behauptung für Alle n größer gleich 2! Da die Vorraussetzung erst ab n=8 gilt, stimmt die Aussage für alle n>=8

Hoffe die Weiterführung ist korrekt MfG Martin