TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 47

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Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche n>=0 folgende Ungleichung gilt:

(ist auch Induktionsvoraussetzung, d.h. wir gehen davon aus, dass dies eine wahre Aussage ist)

Durch herumprobieren kommt man darauf, dass diese Ungleichung ab 8 gilt. Falls jemand weiß, wie man sie löst, kann er bitte die Lösung reinschreiben.

Durch das Induktionsprinzip erhalten wir die Ungleichung:






Durch diverse Umformungen erhalten wir obige Ungleichung, wo wir auf der rechten Seite wieder eine Ausdruck haben (), der in der ursprünglichen wahren Aussage vorhanden ist, dass Prinzip der vollständigen Induktion wäre jetzt, die ursprüngliche Aussage einfließen lassen, bis wir wieder auf eine wahre Aussage kommen.





Weiters wissen wir die Induktionsvorraussetzung:

Daraus folgt die Abschätzung:









Also gilt die Behauptung für Alle n größer gleich 2! Da die Vorraussetzung erst ab n=8 gilt, stimmt die Aussage für alle n>=8

Hoffe die Weiterführung ist korrekt MfG Martin