TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 512

Zeigen Sie, daß die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_3}$ genau dann linear unabhängig sind, wenn $\overrightarrow{x_1}-\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_2},\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_3}$ linear unabhängig sind.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)

Wir befinden uns in ${ℝ}^n$ und betrachten:

• Vektoren: $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}\in {ℝ}^n$
• Skalare: ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in ℝ$

Ein Vektor mit der Form $\overrightarrow{y}={\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$ heißt Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$.

Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ heißen linear abhängig, wenn zumindest einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: $\overrightarrow{x_1}={\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\ast \overrightarrow{x_3}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}$

Andernfalls heißen $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren $\overrightarrow{x_1},\overrightarrow{x_2},\dots ,\overrightarrow{x_n}$ sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: ${\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+\dots +{\lambda }_n\ast \overrightarrow{x_n}=\overrightarrow{0}\Rightarrow {\lambda }_1={\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=0$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

${\lambda }_1\ast \overrightarrow{x_1}+{\lambda }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\lambda }_3\ast \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

${\mu }_1\ast (\overrightarrow{x_1}-\overrightarrow{x_2})+{\mu }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\mu }_3\ast (\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_3})=\overrightarrow{0}$

Wir multiplizieren das aus ...

${\mu }_1\ast \overrightarrow{x_1}-{\mu }_1\ast \overrightarrow{x_2}+{\mu }_2\ast \overrightarrow{x_2}+{\mu }_3\ast \overrightarrow{x_2}-{\mu }_3\ast \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

${\mu }_1\ast \overrightarrow{x_1}+({\mu }_2-{\mu }_1+{\mu }_3)\ast \overrightarrow{x_2}-{\mu }_3\ast \overrightarrow{x_3}=\overrightarrow{0}$

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

${\lambda }_1=0\Rightarrow {\mu }_1=0$

${\lambda }_3=0\Rightarrow {\mu }_3=0$

${\lambda }_2=0\Rightarrow {\mu }_2-{\mu }_1+{\mu }_3=0\Rightarrow {\mu }_2=0$

${\mu }_1=0\Rightarrow {\lambda }_1=0$

${\mu }_3=0\Rightarrow {\lambda }_3=0$

${\mu }_2=0\Rightarrow {\mu }_2-{\mu }_1+{\mu }_3=0\Rightarrow {\lambda }_2=0$

Ressourcen

Literatur

• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Skriptum S. 80f.