TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 529

Bestimmen Sie zu Beispiel 528) $A({ℝ}^2)$ sowie Rang $A$ und verifizieren Sie die Beziehung dim(Kern $A$) + Rang $A$ = dim ${ℝ}^2$.

Hilfreiches

Exzerpt aus Beispiel 528:

Sei $A:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit $A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$.

Lösung von Baccus

(wurde so ählich vom UE-Leiter vorgerechnet)

Abbildung der kanonischen Basis: $\begin{array}{c}A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\overrightarrow{s_1}\\ A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\overrightarrow{s_2}\end{array}\}\Rightarrow$ Abbildungsmatrix $M_A=\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{s_1}& \overrightarrow{s_1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array}\right)$

$A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ ist in der Angabe bestimmt, $A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ muß man über folgenden Umweg zusammenstoppeln:

• $A\left(\begin{array}{c}0\\ -2\end{array}\right)=A(-2|\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})\stackrel{\text{linear}}{=}-2A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=-2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$

• $A\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -2\end{array}\right)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+A\left(\begin{array}{c}0\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

$\Rightarrow A\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=A1/3\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=1/3A\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=1/3\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1/3\\ 1/3\end{array}\right)$

$⟹M_A=\left(\begin{array}{cc}-1/3& 1\\ 1/3& -1\end{array}\right)$

$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=M_A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1/3x_1+x_2\\ 1/3x_1-x_2\end{array}\right)$

$\ker A=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)\lambda \in K$ für $M_A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=0$ $\Rightarrow \dim \ker A=1$

Rang $A=1$

$\dim {ℝ}^2=2$

dim(Kern $A$) + Rang $A$ = dim ${ℝ}^2$= 1+1=2 QED

Baccus 05:02, 19. Jan 2007 (CET)

Links

Wikipädia:

• Rang
• Kern
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliches Beispiel: Beispiel 532
• In der Angabe referenziert: Beispiel 528
• Darauf aufbauend: Beispiel 530