TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 529

Bestimmen Sie zu Beispiel 528) $A(\mathbb {R} ^{2})$ sowie Rang $A$ und verifizieren Sie die Beziehung dim(Kern $A$) + Rang $A$ = dim $\mathbb {R} ^{2}$.

Hilfreiches

Exzerpt aus Beispiel 528:

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$.

Lösung von Baccus

(wurde so ählich vom UE-Leiter vorgerechnet)

Abbildung der kanonischen Basis: ${\begin{matrix}A{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\overrightarrow {s_{1}}}\\A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\overrightarrow {s_{2}}}\end{matrix}}{\Biggr \}}\Rightarrow$ Abbildungsmatrix $M_{A}={\begin{pmatrix}{\overrightarrow {s_{1}}}&{\overrightarrow {s_{1}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

$A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ist in der Angabe bestimmt, $A{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ muß man über folgenden Umweg zusammenstoppeln:

• $A{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}=A\left(-2{\biggl |}{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right){\overset {\text{linear}}{=}}-2\;A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=-2{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$

• $A{\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}+A{\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow A{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=A\;1/3{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}=1/3\;A{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}=1/3{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3\\1/3\end{pmatrix}}$

$\Longrightarrow M_{A}={\begin{pmatrix}-1/3&1\\1/3&-1\end{pmatrix}}$

$A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=M_{A}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3x_{1}+x_{2}\\1/3x_{1}-x_{2}\end{pmatrix}}$

$\ker A={\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}\lambda \in K$ für $M_{A}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=0$ $\Rightarrow \dim \ker A=1$

Rang $A=1$

$\dim \mathbb {R} ^{2}=2$

dim(Kern $A$) + Rang $A$ = dim $\mathbb {R} ^{2}$= 1+1=2 QED

Baccus 05:02, 19. Jan 2007 (CET)

Links

Wikipädia:

• Rang
• Kern
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliches Beispiel: Beispiel 532
• In der Angabe referenziert: Beispiel 528
• Darauf aufbauend: Beispiel 530