TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 544

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Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K,
K=Q
2x1 +x2 + x3 = 1
  x1       + x3 = 1
7x1       + x3 = 7

Lösungsvorschlag von Thora[Bearbeiten]

(Ab) = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & |1 \\ 1 & 0 & 1 & |1 \\ 7 & 0 & 1 & |7\end{pmatrix}


1.Zeile mit 2. Zeile vertauschen  \Rightarrow (Ab) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & |1 \\ 2 & 1 & 1 & |1 \\ 7 & 0 & 1 & |7\end{pmatrix}


2. Zeile - 2*1.Zeile und 3. Zeile - 7*1. Zeile  \Rightarrow (Ab) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & |1 \\ 0 & 1 & -1 & |-1 \\ 0 & 0 & -6 & |0\end{pmatrix}


r = Berechnungsstufen
n = Anzahl Unbekannte
r = 3, n = 3  \Rightarrow es existiert eine eindeutige Lösung


Unbekannte "von unten nach oben" berechnen:

-6x3 = 0
x3 = 0


x2 - x3 = -1
x2 - 0 = -1
x2 = -1


x1 + x3 = 1
x1 + 0 = 1
x1 = 1


x = \begin{pmatrix}x1 \\ x2 \\ x3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}


Probe:

A * x = b

\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 7 & 0 & 1\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2*1 + 1*(-1) + 1*0 \\ 1*1 + 0*(-1) + 1*0 \\ 7*1 + 0*(-1) + 1*0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 7\end{pmatrix}