TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 544

Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K,
K=Q
2x₁ +x₂ + x₃ = 1
  x₁       + x₃ = 1
7x₁       + x₃ = 7

Lösungsvorschlag von Thora

(Ab) = ${\begin{pmatrix}2&1&1&|1\\1&0&1&|1\\7&0&1&|7\end{pmatrix}}$

1.Zeile mit 2. Zeile vertauschen $\Rightarrow$ (Ab) = ${\begin{pmatrix}1&0&1&|1\\2&1&1&|1\\7&0&1&|7\end{pmatrix}}$

2. Zeile - 2*1.Zeile und 3. Zeile - 7*1. Zeile $\Rightarrow$ (Ab) = ${\begin{pmatrix}1&0&1&|1\\0&1&-1&|-1\\0&0&-6&|0\end{pmatrix}}$

r = Berechnungsstufen
n = Anzahl Unbekannte
r = 3, n = 3 $\Rightarrow$ es existiert eine eindeutige Lösung

Unbekannte "von unten nach oben" berechnen:

-6x₃ = 0
x₃ = 0

x₂ - x₃ = -1
x₂ - 0 = -1
x₂ = -1

x₁ + x₃ = 1
x₁ + 0 = 1
x₁ = 1

x = ${\begin{pmatrix}x1\\x2\\x3\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$

Probe:

A * x = b

${\begin{pmatrix}2&1&1\\1&0&1\\7&0&1\end{pmatrix}}$ * ${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}2*1+1*(-1)+1*0\\1*1+0*(-1)+1*0\\7*1+0*(-1)+1*0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}1\\1\\7\end{pmatrix}}$