Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

A={\begin{pmatrix}-1&3&2\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}

Hinweis: im SS2007 ist es das Bsp 554[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Hochi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(gerechnet mit Gauß-Jordan:

$A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20&-10&10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-0.4&0.2\\0&0.1&0.2\end{pmatrix}}$

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(gerechnet mit Gauß-Jordan (ohne Zeilen-/Spaltentausch)):

$\det {\begin{pmatrix}-1&3&3\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}=10$

${\begin{pmatrix}-1&3&3\\-2&4&6\\1&-2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{5}}\\0&{\frac {1}{10}}&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\quad \surd$

QED

--Baccus 01:37, 21. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*{(A^{\dagger })}^{T}$

$det(A)$ ... Determinante von A
$A^{\dagger }$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=(-1)*4*2+3*6*1+2*(-2)*(-2)-2*4*1-3*(-2)*2-(-1)*6*(-2)=-8+18+8-8-12+12={\mathit {10}}$

$det(A)\neq 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{\dagger }={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}4&6\\-2&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-2&6\\1&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-2&4\\1&-2\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}3&2\\-2&2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&2\\1&2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&3\\1&-2\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}3&2\\4&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&2\\-2&6\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&3\\-2&4\end{vmatrix}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20&10&0\\-10&-4&1\\10&2&2\end{pmatrix}}$

Nun müssen wir die Matrix noch transponieren:

${\begin{pmatrix}20&-10&10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}}$

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}*A^{\dagger }={\frac {1}{10}}*{\begin{pmatrix}20&-10&10\\10&-4&2\\0&1&2\end{pmatrix}}={\mathit {\begin{pmatrix}2&-1&1\\1&-0.4&0.2\\0&0.1&0.2\end{pmatrix}}}$

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrix A initialisieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> A = [-1 3 2; -2 4 6; 1 -2 2]
    A =
      -1     3     2
      -2     4     6
       1    -2     2

Determinante von A berechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> detA = det(A)
    detA =
      10

Inverse von A berechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> invA = inv(A)
    invA =
      2.0000   -1.0000    1.0000
      1.0000   -0.4000    0.2000
           0    0.1000    0.2000

Algebraisches Komplement von A berechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> kompA = detA * invA
    kompA =
      20   -10    10
      10    -4     2
       0     1     2

Determinante von A^-1 bestimmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> det(invA)
    ans =
      0.1000

Manuell berechnete Inverse eingeben[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> invAmanual = 0.1*[20 10 0; -10 -4 1; 10 2 2]
    invAmanual =
      2.0000    1.0000         0
     -1.0000   -0.4000    0.1000
      1.0000    0.2000    0.2000

Determinante der manuell berechneneten Inversen (u.vgl.)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  >> det(invAmanual)
    ans =
      0.1000

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 553

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