TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 553

Bestimmen Sie die inverse Matrix $A^{-1}$ zur Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 2\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von Hochi

(gerechnet mit Gauß-Jordan:

$\begin{array}{ccccccc}-1& 3& 2& 1& 0& 0& Z_1=Z_1+Z_3\\ -2& 4& 6& 0& 1& 0& Z_2=Z_2+2Z_3\\ 1& -2& 2& 0& 0& 1& Z_3-Z_1\\ 0& 1& 4& 1& 0& 1& Z_1=5Z_1-2Z_2\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2\\ 1& -2& 2& 0& 0& 1& Z_3=Z_3+2Z_1\\ 0& 5& 0& 5& -2& 1& Z_1=Z_1\ast 2\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2& \\ 1& 0& 10& 2& 0& 3& Z_3=(Z_3-Z_2)\ast 10\\ 0& 10& 0& 10& -4& 2& vertausche{Z}_1-->Z_2\\ 0& 0& 10& 0& 1& 2& vertausche{Z}_2-->Z_3\\ 10& 0& 0& 20& -10& 10& vertausche{Z}_3-->Z_1\\ 10& 0& 0& 20& -10& 10& \\ 0& 10& 0& 10& -4& 2& \\ 0& 0& 10& 0& 1& 2& \end{array}$

$A^{-1}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ 10& -4& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& -0.4& 0.2\\ 0& 0.1& 0.2\end{array}\right)$,

Lösung von Baccus

(gerechnet mit Gauß-Jordan (ohne Zeilen-/Spaltentausch)):

$\begin{array}{ccccccc}-1& 3& 2& 1& 0& 0& -Z_1\\ -2& 4& 6& 0& 1& 0& Z_2-2Z_1\\ 1& -2& 2& 0& 0& 1& Z_3+Z_1\\ 1& -3& -2& -1& 0& 0\\ 0& -2& 2& -2& 1& 0& -\frac{1}{2}{Z}_2\\ 0& 1& 4& 1& 0& 1& Z_3+\frac{1}{2}{Z}_2\\ 1& -3& -2& -1& 0& 0& Z_1+3Z_2\\ 0& 1& -1& 1& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 5& 0& \frac{1}{2}& 1& \frac{1}{5}{Z}_3\\ 1& 0& -5& 2& -\frac{3}{2}& 0& Z_1+5Z_3\\ 0& 1& -1& 1& -\frac{1}{2}& 0& Z_2+Z_3\\ 0& 0& 1& 0& \frac{1}{10}& \frac{1}{5}\\ 1& 0& 0& 2& -1& 1& & [S_2:-\frac{3}{2}+5\frac{1}{10}=-\frac{15}{10}+\frac{5}{10}=-1]\\ 0& 1& 0& 1& -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}& & [S_2:-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=-\frac{5}{10}+\frac{1}{10}=-\frac{2}{5}]\\ 0& 0& 1& 0& \frac{1}{10}& \frac{1}{5}\end{array}$

Probe:

$det\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 3\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)=10$, $det\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}\\ 0& \frac{1}{10}& \frac{1}{5}\end{array}\right)=1/10\surd$

$\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 3\\ -2& 4& 6\\ 1& -2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& -\frac{2}{5}& \frac{1}{5}\\ 0& \frac{1}{10}& \frac{1}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\surd$

QED

--Baccus 01:37, 21. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von mnemetz

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast {(A^{†})}^T$

• $det(A)$ ... Determinante von A
• $A^{†}$ ... Adjunkte od. algebraisches Komplement von A

Berechnung der Determinante:

$det(A)=(-1)\ast 4\ast 2+3\ast 6\ast 1+2\ast (-2)\ast (-2)-2\ast 4\ast 1-3\ast (-2)\ast 2-(-1)\ast 6\ast (-2)=-8+18+8-8-12+12=10$

$det(A)\ne 0\Rightarrow$ A ist invertierbar!

$A^{†}=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-2& 6\\ 1& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& -2\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -2& 2\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& 2\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& -2\end{array}\right|\\ +\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ -2& 4\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}20& 10& 0\\ -10& -4& 1\\ 10& 2& 2\end{array}\right)$

Nun müssen wir die Matrix noch transponieren:

$\left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ 10& -4& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\ast A^{†}=\frac{1}{10}\ast \left(\begin{array}{ccc}20& -10& 10\\ 10& -4& 2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& \mathit{-}1& 1\\ 1& \mathit{-}0.4& 0.2\\ 0& 0.1& 0.2\end{array}\right)$

MATLAB zur Verifizierung der Ergebnisse verwenden

Matrix A initialisieren

  >> A = [-1 3 2; -2 4 6; 1 -2 2]
    A =
      -1     3     2
      -2     4     6
       1    -2     2

Determinante von A berechnen

  >> detA = det(A)
    detA =
      10

Inverse von A berechnen

  >> invA = inv(A)
    invA =
      2.0000   -1.0000    1.0000
      1.0000   -0.4000    0.2000
           0    0.1000    0.2000

Algebraisches Komplement von A berechnen

  >> kompA = detA * invA
    kompA =
      20   -10    10
      10    -4     2
       0     1     2

Determinante von A^-1 bestimmen

  >> det(invA)
    ans =
      0.1000

Manuell berechnete Inverse eingeben

  >> invAmanual = 0.1*[20 10 0; -10 -4 1; 10 2 2]
    invAmanual =
      2.0000    1.0000         0
     -1.0000   -0.4000    0.1000
      1.0000    0.2000    0.2000

Determinante der manuell berechneneten Inversen (u.vgl.)

  >> det(invAmanual)
    ans =
      0.1000