TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 561

Man berechne

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Erster Schritt: Matrix analysieren

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ \mathrm{𝟏}& -4& 7& 12\end{array}\right|$

Zuerst analysieren wir die Matrix ein wenig:

1. Auf $a_{1,1}$ steht eine 0 - die müssen wir wegkriegen. Dort darf keine Null stehen!
2. Auf $a_{4,1}$ steht eine 1 - der Zeilentausch 1-4 bietet sich also an!

Bemerkung (onu): Also ich habe noch keinen Hinweis gefunden das bei der Bestimmung der Determinante das Element a11 nicht 0 sein darf?! Hab nachgerechnet, man kann die Entwicklung einfach nach der ersten Spalte machen und (so wie du in der Lösung) Zeile 2&3 eliminieren. Das ergibt sogar nur "(-1)*Unterdeterminante". Beinahe einfacher :)

Zweiter Schritt: Zeilentausch 1-4

Wir tauschen nun die Zeilen 1 und 4 und dürfen nicht vergessen, der neuen 4. Zeile einen Vorzeichenwechsel angedeihen zu lassen!

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|$

Dritter Schritt: Spalte eins, Nuller vervollständigen

Zweite Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $2.\text{ Zeile }-4\ast (1.\text{ Zeile })=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  4-4*1     1-(-4)*4     -6-4*7    -8-4*12

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3.\text{ Zeile }-3\ast (1.\text{ Zeile })=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  3-3*1     3-(-4)*3    -2-7*3     5-3*12

Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 0& 17& -34& -56\\ 0& 15& -23& -31\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}17& -34& -56\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|$

Vierter Schritt: 17 herausheben

Um auf $a_{1,1}$ 1 zu erhalten, heben wir in der ersten Zeile 17 heraus!

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 0& 17& -34& -56\\ 0& 15& -23& -31\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}17& -34& -56\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|=17\ast \left|\begin{array}{ccc}1& -2& \frac{-56}{17}\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|$

Fünfter Schritt: Reduktion auf 2x2 Matrix

Zweite Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $2.\text{ Zeile }-15\ast (1.\text{ Zeile })=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     -23-(-2)*15     -31 - $\frac{-56\ast 15}{17}$

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3.\text{ Zeile }+10\ast (1.\text{ Zeile })=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     -3+10*(-2)     -7+$\frac{-56\ast 10}{17}$

Zusammenfassung, Vereinfachung (Wegfall 1. Zeile)

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 0& 17& -34& -56\\ 0& 15& -23& -31\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}17& -34& -56\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|=17\ast \left|\begin{array}{ccc}1& -2& \frac{-56}{17}\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|$

$=17\ast \left|\begin{array}{ccc}1& -2& \frac{-56}{17}\\ 0& 7& \frac{313}{17}\\ 0& -23& \frac{-679}{17}\end{array}\right|=17\ast \left|\begin{array}{cc}7& \frac{313}{17}\\ -23& \frac{-679}{17}\end{array}\right|$

Abschlussrechnung, Zusammenfassung, Ergebnis

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 7& 12\\ 0& 17& -34& -56\\ 0& 15& -23& -31\\ 0& -10& -3& -7\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}17& -34& -56\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|=17\ast \left|\begin{array}{ccc}1& -2& \frac{-56}{17}\\ 15& -23& -31\\ -10& -3& -7\end{array}\right|$

$=17\ast \left|\begin{array}{ccc}1& -2& \frac{-56}{17}\\ 0& 7& \frac{313}{17}\\ 0& -23& \frac{-679}{17}\end{array}\right|=17\ast \left|\begin{array}{cc}7& \frac{313}{17}\\ -23& \frac{-679}{17}\end{array}\right|=17\ast (7\ast \frac{-679}{17}+23\ast \frac{313}{17})=23\ast 313-7\ast 679=2446$

Lösungsvorschlag von eaglo

ziel definieren

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 4& 1& -6& -8\\ 3& 3& -2& 5\\ \mathrm{𝟏}& -4& 7& 12\end{array}\right|$

• matrix auf mindestens 3x3 reduzieren (dann kann sie schon berechnet werden)

=> hier bietet sich die 1. spalte und die 4. zeile an (a11 ist bereits 0 wodurch wir eine zeile weniger bearbeiten müssen) das element a41 ist 1, der einfachheit halber nehmen wir dieses element als ausgangsbasis. weiteres ziel: a21 u. a31 zu 0 machen, dies geschieht durch multiplizieren der 4 zeile und anschließendes addieren bzw. subtrahieren von der jeweiligen zeile

0en erzeugen

zeile 2

wir wollen für das element a21 den wert 0 bekommen somit müssen wir zeile 4 mit 4 multiplizieren und anschließen von zeile 2 abziehen. $2.\text{ Zeile }-4\ast 4.\text{ Zeile }=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  a21_{neu} = a21 - 4 * a41 = 4 - 4 * 1 = 0
  a22_{neu} = a22 - 4 * a42 = 1 - 4 * (-4) = 17
  usw. ...

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 0& 17& -34& -56\\ 3& 3& -2& 5\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|$

zeile 3

analog zu zeile 2: $2.\text{ Zeile }-3\ast 4.\text{ Zeile }=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  a31_{neu} = a31 - 3 * a41 = 3 - 3 * 1 = 0
  a32_{neu} = a32 - 3 * a42 = 3 - 3 * (-4) = 15
  usw. ...

$\left|\begin{array}{cccc}0& 10& 3& 7\\ 0& 17& -34& -56\\ 0& 15& -23& -31\\ 1& -4& 7& 12\end{array}\right|$

zeile 4 streichen

die 1. spalte haben wir nun eliminiert, jetzt a41 herausheben (auf vorzeichen achten) und wir können schon die 4. zeile streichen

das ergibt:

$(-1)\ast \left|\begin{array}{ccc}10& 3& 7\\ 17& -34& -56\\ 15& -23& -31\end{array}\right|$

jetzt nur noch die determinante berechnen ...

determinante berechnen

die determinante einer 3x3 matrize wird wie folgt berechnet:

   D =  a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32
        - a13 * a22 * a31 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33

in unserem fall also:

   D = (-1) * { [ 10 * (-34) * (-31) ] + [ 3 * (-56) * 15 ] + [ 7 * 17 * (-23) ] 
              - [ 7 * (-34) * 15 ] - [ 3 * 17 * (-31) ] - [ 10 * (-56) * (-23) ]  }

   D = (-1) * { 10540 - 2520 - 2737 
              + 3570 + 1581 - 12880 }

   D = (-1) * (-2446) = 2446

tada ... fertig :)

Anhang von mnemetz: Matlab und Matrizen

Mit Matlab kann man sehr einfach die Determinanten von Matrizen berechnen - ich habe Matlab bei diesem Beispiel als begleitende Kontrolle verwendet. Beispiel:

Eingabe der Matrix

  >> A = [0 10 3 7; 4 1 -6 -8; 3 3 -2 5; 1 -4 7 12]
  A =
    0    10     3     7
    4     1    -6    -8
    3     3    -2     5
    1    -4     7    12

Berechnung der Determinante

  >> det(A)
    2446

Ressourcen

Literatur

• Baron/Kirschenhofer, Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, 1989, 2.Aufl., S. 77ff.
• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer 1989, 250ff.
• Preuß/Wenisch, Lehr- und Übungsbuch numerische Mathematik, Hanser 2001, 63ff.
• Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer 2001, 473ff.
• Skriptum S. 77ff.

Web

• https://web.archive.org/web/20180817161210/http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm
• http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29
• https://web.archive.org/web/20180817161213/http://www.mathematik.net/determinanten/22.htm
• https://web.archive.org/web/20180817161215/https://matheplanet.com/default3.html?call=article.php%3fsid=383