TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 562

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Sei

.

Man zeige, dass nichtsingulär ist und berechne . Schließlich ermittle man sowie .

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nachweis, daß A nichtsingulär ist[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Damit ich sichergehen kann, dass A invertierbar ist, muss ich zeigen, dass die Determinante nicht Null ist.

.

Die Invertierbarkeit ist daher gegeben!


(Determinante nach der Regel von Sarrus mit der Formel berechnet)

Edit: Am Ende der Formel hat sich glaube ich ein Fehler eingeschlichen, es sollte so aussehen:

Berechnung der Inversen (mit Hilfe der Determinante)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe z.B. auch den entsprechenden Wikipedia-Eintrag!

Die Inverse lässt sich mit Hilfe der Determinanten der Matrix berechnen, und zwar nach der Formel

,

dabei ist die komplementäre Matrix zu A (auch algebraisches Komplement genannt).

Die Transponierte der aus den vorzeichenbehafteten Minoren bestehende Matrix bezeichnet man als die zu A komplementäre Matrix A#:

Als erstes benötigen wir eine Art "Vorzeichenmuster":

.

.

Die Matrix muss nun transponiert werden:

.

Somit erhalten für die inverse Matrix von A:

,

Berechnung der Inversen (mit Hilfe des Gauss-Verfahrens)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch mit dem Gauss'schen Eliminatiosnverfahren kann die Inverse berechnet werden (wird hier nicht behandelt!).


Berechnung von A*A^(-1) und A^(-1)*A[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falk-Methode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Falksche Schema ist eine Tabelle, die eine optische Hilfe bei der Matrizenmultiplikation von Hand bietet. Der linke Faktor, die (m × r)-Matrix, wird links von der (m × n)-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die (r × n)-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die ite Zeile des linken Multiplikanden und die jte Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.

Gegeben sind die Matrizen

und .

Es soll das Produkt C = A · B ermittelt werden. C ist eine 3 × 2-Matrix.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

2

2

5

3

3

-6

Es wird das Falksche Schema aufgestellt.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

2

2

5

3

3

-6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der ersten Spalte von B multipliziert: 1 · (-1) + 4 · 1 = 3 und ergibt das Element c11 = 3.

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

-7

2

2

5

3

3

-6

Die erste Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 1 · 1 + 4 · (-2) = -7 und ergibt das Element c12 = -7.

...

         

Spalte j

1

2

-1

1

Zeile i

      

      

1

-2

1

1

4

3

-7

2

2

5

3

-8

3

3

-6

-9

15

Die dritte Zeile von A wird elementweise mit der zweiten Spalte von B multipliziert: 3 · 1 + (-6) · (-2) = 15 und ergibt das Element c32 = 15.


A * A^-1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich:

A^-1*A[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Falkschem Schema ergibt sich: