TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 564

Für welche $x\in \mathbb {Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A={\begin{pmatrix}3&x&1\\0&1&x\\x&-1&0\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb {Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=3*1*0+x*x*x+1*0*(-1)-1*1*x-x*0*(-1)-3*x*(-1)=0+x^{3}-x-0+3*x=x^{3}+2*x$

(Determinante nach der Formel $det(A)={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{pmatrix}}=a_{1,1}*a_{2,2}*a_{3,3}+a_{1,2}*a_{2,3}*a_{3,1}+a_{1,3}*a_{2,1}*a_{3,2}-a_{1,3}*a_{2,2}*a_{3,1}-a_{1,2}*a_{2,1}*a_{3,3}-a_{1,1}*a_{2,3}*a_{3,3}$ berechnet)

Damit singulär ist, muss gelten:

${\begin{aligned}x^{3}+2*x&=0\\x(x^{2}+2)&=0\\x^{2}+2&=0\\x^{2}&=-2\\\end{aligned}}$

Es gibt kein $x\in \mathbb {Q}$ also Lösung, sondern nur ein $x\in \mathbb {C}$, daher ist die Matrix A für alle $x\in \mathbb {Q} \backslash \{0\}$ invertierbar!

Anmerkung (mjung): oben hast du bei der Gleichung ${\begin{aligned}x(x^{2}+2)&=0\end{aligned}}$ einfach das x weggelassen. Das ist aber auch eine Nullstelle, also falls x = 0, ist die Gleichung 0 was die Matrix sinuglär machen würde. 0 ist Element von Q. In der Lösung hast hast du dann 0 aber weggelassen. So stimmt's auch, nur die letzte Bemerkung ist ein bisschen verwirrend.