TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 564

Für welche $x\in \mathbb{Q}$ ist die Matrix A singulär?

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& x& 1\\ 0& 1& x\\ x& -1& 0\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Eine Matrix, die nicht invertierbar ist, wird singulär genannt. Bei einer solchen ist die Determinante also 0.

Zu zeigen ist nun, für welches $x\in \mathbb{Q}$ die vorliegende Matrix nun singulär ist!

$det(A)=3\ast 1\ast 0+x\ast x\ast x+1\ast 0\ast (-1)-1\ast 1\ast x-x\ast 0\ast (-1)-3\ast x\ast (-1)=0+x^3-x-0+3\ast x=x^3+2\ast x$

(Determinante nach der Formel $det(A)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right)=a_{1,1}\ast a_{2,2}\ast a_{3,3}+a_{1,2}\ast a_{2,3}\ast a_{3,1}+a_{1,3}\ast a_{2,1}\ast a_{3,2}-a_{1,3}\ast a_{2,2}\ast a_{3,1}-a_{1,2}\ast a_{2,1}\ast a_{3,3}-a_{1,1}\ast a_{2,3}\ast a_{3,3}$ berechnet)

Damit singulär ist, muss gelten:

$\begin{array}{cc}{x}^3+2\ast x& =0\\ x(x^2+2)& =0\\ x^2+2& =0\\ x^2& =-2\\ \end{array}$

Es gibt kein $x\in \mathbb{Q}$ also Lösung, sondern nur ein $x\in ℂ$, daher ist die Matrix A für alle $x\in \mathbb{Q}\mathrm{\setminus }\{0\}$ invertierbar!

Anmerkung (mjung): oben hast du bei der Gleichung $\begin{array}{cc}x(x^2+2)& =0\end{array}$ einfach das x weggelassen. Das ist aber auch eine Nullstelle, also falls x = 0, ist die Gleichung 0 was die Matrix sinuglär machen würde. 0 ist Element von Q. In der Lösung hast hast du dann 0 aber weggelassen. So stimmt's auch, nur die letzte Bemerkung ist ein bisschen verwirrend.