TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 567

Für die Vektoren $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$, $\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{z}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ berechne man

(a) die Längen von $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$ und $\overrightarrow{z}$

(b) den Winkel $\varphi$ zwischen $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$

(c) das Volumen des von $\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$ und $\overrightarrow{z}$ aufgespannten Parallelepipeds

Lösungsvorschlag von mnemetz

Längen der Vektoren

Die Länge eines Vektors wird bestimmt durch: $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_n}$.

• $|\overrightarrow{x}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$
• $|\overrightarrow{y}|=\sqrt{3^2+1^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$
• $|\overrightarrow{z}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$

Winkel zwischen den Vektoren

Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus der Formel (Cosinussatz):

• ${|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}^2={|\overrightarrow{x}|}^2+{|\overrightarrow{y}|}^2-2\ast |\overrightarrow{x}|\ast |\overrightarrow{y}|\ast \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi =\frac{\overrightarrow{x}\ast \overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}|\ast |\overrightarrow{y}|}$

Somit ergibt sich:

$\cos \varphi =\frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)}{\sqrt{14}\ast \sqrt{14}}=\frac{3-2+6}{14}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

$\varphi =\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$

Zur Erinnerung - die Umrechnungsformelm: Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

• Von Grad nach Bogenmaß:

${\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\frac{{\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\cdot \pi }{180}$

• Von Bogenmaß nach Grad:

${\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}\cdot 180}{\pi }$

Volumen des Parallelepipeds

Schematisch die Problemstellung:

Das Volumen errechnet sich aus dem äusseren Produkt (Spatprodukt) der Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$, was wiederum einen Vektor ergibt. Dieser Vektor wird mit $\overrightarrow{z}$ multipliziert - das sich ergebende Skalar ist das Volumen.

Zur Erinnerung: Das Spatprodukt errechnet sich wie folgt:

(Anm: Eigentlich ist das Spatprodukt von $𝔵,𝔶,𝔷$ so definiert (der Rechenweg bleibt aber richtig): $det(𝔵,𝔶,𝔷)$ oder eben $⟨𝔵\times 𝔶,𝔷⟩$. )

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)\Rightarrow \overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ x_3& y_3\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_3& y_3\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\end{array}\right)$

Somit müssen wir berechnen:

$(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right))\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 2\end{array}\right|\\ -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 2\end{array}\right|\\ \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4+3\\ -(2-9)\\ -1-6\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ -7\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=14+14-7=21$