Die Länge eines Vektors wird bestimmt durch:
.
![{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+4+9}}={\sqrt {\mathit {14}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6795699821c45cc4f2eb7542959f81fe&mode=mathml)
![{\displaystyle |{\vec {y}}|={\sqrt {3^{2}+1^{2}+2^{2}}}={\sqrt {9+1+4}}={\sqrt {\mathit {14}}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5a79eca1120403fbe7b333dec43342ea&mode=mathml)
![{\displaystyle |{\vec {z}}|={\sqrt {2^{2}+2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {4+4+1}}={\sqrt {9}}={\mathit {3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7c5f11bdd6d6e630667659381b7f5e5d&mode=mathml)
Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus der Formel (Cosinussatz):
![{\displaystyle {|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}^{2}={|{\vec {x}}|}^{2}+{|{\vec {y}}|}^{2}-2*|{\vec {x}}|*|{\vec {y}}|*\cos \phi \qquad \Rightarrow \qquad \cos \phi ={\frac {{\vec {x}}*{\vec {y}}}{|{\vec {x}}|*|{\vec {y}}|}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9fac164109b2d9d519941be63de6d220&mode=mathml)
Somit ergibt sich:
Zur Erinnerung - die Umrechnungsformelm: Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:
![{\displaystyle {\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}\cdot \pi }{180}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c4dbe8ad2a291bdfcb93a10b458c52ae&mode=mathml)
![{\displaystyle {\rm {Winkel}}_{\rm {Grad}}={\frac {{\rm {Winkel}}_{\rm {Bogenmass}}\cdot 180}{\pi }}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=90d477dc13666e6a65a48d0e9a5a2aba&mode=mathml)
Schematisch die Problemstellung:
Das Volumen errechnet sich aus dem äusseren Produkt (Spatprodukt) der Vektoren
und
, was wiederum einen Vektor ergibt. Dieser Vektor wird mit
multipliziert - das sich ergebende Skalar ist das Volumen.
Zur Erinnerung: Das Spatprodukt errechnet sich wie folgt:
(Anm: Eigentlich ist das Spatprodukt von
so definiert (der Rechenweg bleibt aber richtig):
oder eben
. )
Somit müssen wir berechnen: