TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 568

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A\ast \lambda ))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$Ei{g}_A=det(\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right))=det(\left(\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ -1& 3-\lambda \end{array}\right))$

$=(3-\lambda )\ast (3-\lambda )-1=9-6\ast \lambda +{\lambda }^2-1={\lambda }^2-6\ast \lambda +8=(\lambda -2)\ast (\lambda -4)$

$\underset{{\lambda }_1=2}{\underbrace{(\lambda -2)}}\ast \underset{{\lambda }_2=4}{\underbrace{(\lambda -4)}}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• ${\lambda }_1=2$
• ${\lambda }_2=4$