TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 570

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A\ast \lambda ))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$A-(E_A\ast \lambda )=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\lambda & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\lambda \end{array}\right)$

$det(A-E_A\ast \lambda )=-{\lambda }^3+0.5^3+0.5^3+0.5^2\ast \lambda +0.5^2\ast \lambda =\mathit{-}{𝜆}^3\mathit{+}\frac{3}{4}\mathit{\ast }𝜆\mathit{+}\frac{1}{4}$

Nullstellen des Eigenwertpolynoms $\mathit{-}{𝜆}^3\mathit{+}\frac{3}{4}\mathit{\ast }𝜆\mathit{+}\frac{1}{4}$ sind zu suchen:

• ${\lambda }_1=1$
• ${\lambda }_2=-0.5$
• ${\lambda }_3=-0.5$

${\lambda }_2$ und ${\lambda }_3$ ergeben sich durch die Polynomdivision (Eigenwertpolynom durch $\lambda -1$).