TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 570

Angabe

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_{A}*\lambda ))$, wobei $E_{A}$ der Einheitsvektor von A ist.

$A-(E_{A}*\lambda )={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\lambda &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-\lambda &{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&-\lambda \end{pmatrix}}$

$det(A-E_{A}*\lambda )=-\lambda ^{3}+0.5^{3}+0.5^{3}+0.5^{2}*\lambda +0.5^{2}*\lambda ={\mathit {-\lambda ^{3}+{\frac {3}{4}}*\lambda +{\frac {1}{4}}}}$

Nullstellen des Eigenwertpolynoms ${\mathit {-\lambda ^{3}+{\frac {3}{4}}*\lambda +{\frac {1}{4}}}}$ sind zu suchen:

• $\lambda _{1}=1$
• $\lambda _{2}=-0.5$
• $\lambda _{3}=-0.5$

$\lambda _{2}$ und $\lambda _{3}$ ergeben sich durch die Polynomdivision (Eigenwertpolynom durch $\lambda -1$).