TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 60

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von $\sqrt[3]{-i}$ in der Form $[r,\phi ]$.

Ähnliche Beispiele 58-61.

Lösungsvorschlag

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 $\pi$ oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: $z=\sqrt{0+i^2}=\sqrt{1}=1$. Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| *$(cos\varphi$ - i.sin$\varphi$) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.

 Z0 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 0]=[1,\frac{9\ast \pi }{6}]$
 Z1 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 1]=[1,\frac{\pi }{6}]$
 Z2 = $[\sqrt[3]{1}$, $\frac{3\ast \pi }{2}+\frac{2\ast \pi }{3}\ast 2]=[1,\frac{5\ast \pi }{6}]$

Hapi