TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 60

Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von ${\sqrt[{3}]{-i}}$ in der Form $[r,\varphi ]$.

Ähnliche Beispiele 58-61.

Lösungsvorschlag

Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, gibt es drei Lösungen.

Die Koordinaten in der Gaußschen Zahlenebene sind daher: Z = 0 -i (Form a - bi), was 3/2 $\pi$ oder 270 Grad entspricht.

Auch der Betrag von z ist hier einfach: $z={\sqrt {0+i^{2}}}={\sqrt {1}}=1$. Der Wert von r ist daher nicht ganz überraschend 1. Das heißt, alle 3 gesuchten Werte liegen am Einheitskreis.

 Z = |Z| *$(cos\phi$ - i.sin$\phi$) = |Z| * (0 -i)   Leicht mit Angabe nachzuprüfen.

 Z0 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*0]=[1,{\frac {9*\pi }{6}}]$
 Z1 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*1]=[1,{\frac {\pi }{6}}]$
 Z2 = $[{\sqrt[{3}]{1}}$, ${\frac {3*\pi }{2}}+{\frac {2*\pi }{3}}*2]=[1,{\frac {5*\pi }{6}}]$

Hapi