TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 62

Man beweise ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$ und ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$.

Lösungsvorschlag

Im Prinzip könnte der Beweis darin bestehen, daß man unter Anwendung der Rechengesetze nachweist, daß die Gleichungen bei konjugiert komplexen Zahlen stimmen.

${\overline {z_{1}}}$ = a - bi

${\overline {z_{2}}}$ = c - di

 ${\overline {z_{1}z_{2}}}$    = (a+bi)*(c+di) = (ac + bd) + i(ad + cb) --> konjugiert (ac + bd) - i(ad + cb)
  
 ${\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$  = (a-bi)*(c-di) = (ac + bd) - i(ad + cb)   paßt!

 ${\overline {z_{1}-z_{2}}}$ = (a+bi)-(c+di) = (a-c) + i(b-d) --> konjugiert (a-c) - i(b-d)
 
 ${\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$ = (a-bi)-(c-di) = (a-c) - i(b-d)  paßt!

Hapi