TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 64

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^{2}+2z+4=0$ sowohl in der Form $a+bi,a\in \mathbb {R}$ als auch in der Polarkoordinatenform $r*(cos\phi +i*sin\phi ),r\geq 0,0\leq \phi \leq 2\pi$ dar!

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

Betrachtung der Diskriminante Die Diskriminante (D) ist $b^{2}-4ac$. Je nach Wert der Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ zu erwarten sind.

Wenn gilt:

• D > 0 $\Rightarrow$ verschiedene reelle Lösungen
• D = 0 $\Rightarrow$ genau eine Lösung
• D < 0 $\Rightarrow$ keine reelle Lösung

Die Polarform ist definiert durch: $z=r*(\cos \phi +i*\sin \phi )$

• r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ für rechtwinkelige Dreiecke
• $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Lösungsvorschlag (analog Beispiel 65)

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in $\mathbb {C}$ n verschiedene Lösungen in $\mathbb {C}$.

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.

Die gegebene quadratische Gleichung $z^{2}+4z+8=0$ stellen wir allgemeiner wie folgt dar: $az^{2}+bz+c=0$

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar: a=1, b=2 und c=4

Die Diskriminante beträgt -12, daher sind zwei komplexe Lösungen erwarten!

$z_{1,2}=-1\pm {\frac {i{\sqrt {12}}}{2}}=-1\pm i{\sqrt {3}}$

Die 2 Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene (Form a $\pm$ bi) sind daher:

  $z_{1}=-1+i{\sqrt {3}}$      $z_{2}=-1-i{\sqrt {3}}$  (konjugiert komplex!)

Achtung: Überlegen, wo sich die Punkte in der Gaußschen Zahlenebene befinden (2. und 3. Quadrant)!!

Umrechnen der Koordinaten in die Polarform

Zuerst mal einige Überlegungen:

 Radius   $r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2$
 $\cos \phi =1/2$   $\sin \phi =-i*{\sqrt {3}}/2$   was einen Winkel $\phi =2\pi /3$ (120 Grad) bedeutet.

An dieser Stelle sollte man aufpassen, in welchem Quadranten man sich befindet, denn cos 60 = 1/2 und sin 120 = $-{\sqrt {3}}/2$

120 Grad gespiegelt sind dann 240 Grad. Das müssen wir noch in $\pi$ umrechnen.

 $\phi _{1}=2*\pi /3$  und  $\phi _{2}=4*\pi /3$   (60 Grad = $\pi /3$)

Jetzt hat man alles für die Polarkoordinatendarstellung z = [r,$\phi$]

 $z_{1}$ = [2,$2*\pi /3$]    $z_{2}$ = [2,$4*\pi /3$]

Hapi

r ist richig 2 und nicht 1, war ein Schreibfehler. Danke für den Hinweis. Schon ausgebessert.