TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 64

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^2+2z+4=0$ sowohl in der Form $a+bi,a\in ℝ$ als auch in der Polarkoordinatenform $r\ast (cos\varphi +i\ast sin\varphi ),r\ge 0,0\le \varphi \le 2\pi$ dar!

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$a{x}^2+bx+c=0⟹x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Betrachtung der Diskriminante Die Diskriminante (D) ist $b^2-4ac$. Je nach Wert der Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in $ℝ$ oder $ℂ$ zu erwarten sind.

Wenn gilt:

• D > 0 $\Rightarrow$ verschiedene reelle Lösungen
• D = 0 $\Rightarrow$ genau eine Lösung
• D < 0 $\Rightarrow$ keine reelle Lösung

Die Polarform ist definiert durch: $z=r\ast (\cos \varphi +i\ast \sin \varphi )$

• r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel $a^2+b^2=c^2$ für rechtwinkelige Dreiecke
• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lösungsvorschlag (analog Beispiel 65)

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in $ℂ$ n verschiedene Lösungen in $ℂ$.

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.

Die gegebene quadratische Gleichung $z^2+4z+8=0$ stellen wir allgemeiner wie folgt dar: $a{z}^2+bz+c=0$

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar: a=1, b=2 und c=4

Die Diskriminante beträgt -12, daher sind zwei komplexe Lösungen erwarten!

$z_{1,2}=-1\pm \frac{i\sqrt{12}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$

Die 2 Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene (Form a $\pm$ bi) sind daher:

  $z_1=-1+i\sqrt{3}$      $z_2=-1-i\sqrt{3}$  (konjugiert komplex!)

Achtung: Überlegen, wo sich die Punkte in der Gaußschen Zahlenebene befinden (2. und 3. Quadrant)!!

Umrechnen der Koordinaten in die Polarform

Zuerst mal einige Überlegungen:

 Radius   $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$
 $\cos \varphi =1/2$   $\sin \varphi =-i\ast \sqrt{3}/2$   was einen Winkel $\varphi =2\pi /3$ (120 Grad) bedeutet.

An dieser Stelle sollte man aufpassen, in welchem Quadranten man sich befindet, denn cos 60 = 1/2 und sin 120 = $-\sqrt{3}/2$

120 Grad gespiegelt sind dann 240 Grad. Das müssen wir noch in $\pi$ umrechnen.

 ${\varphi }_1=2\ast \pi /3$  und  ${\varphi }_2=4\ast \pi /3$   (60 Grad = $\pi /3$)

Jetzt hat man alles für die Polarkoordinatendarstellung z = [r,$\varphi$]

 $z_1$ = [2,$2\ast \pi /3$]    $z_2$ = [2,$4\ast \pi /3$]

Hapi

r ist richig 2 und nicht 1, war ein Schreibfehler. Danke für den Hinweis. Schon ausgebessert.