TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 67

Angabe

${\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|}^2+{\left|\frac{z_1-z_2}{2}\right|}^2=\frac{1}{2}({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)$

Brauchbares

$\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Lösung

Umformen des ersten Teil der linken Seite

$z_1+z_2=a+bi+c+di$

wende brauchbares im ersten Teil an

${\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|}^2={\left(\frac{\sqrt{(a+c{)}^2+(b+d{)}^2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2}{4}$

Umformen des zweiten Teil der linken Seite

$z_1-z_2=a+bi-(c+di)$

wende brauchbares im zweiten Teil an

${\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|}^2={\left(\frac{\sqrt{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}{4}$

Führe ersten und zweiten teil zusammen

$\frac{a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2}{4}+\frac{a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}{4}=\frac{2a^2+2c^2+2b^2+2d^2}{4}=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

Nun kommt die rechte Seite

$\frac{1}{2}({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2)=\frac{1}{2}(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2})=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

Rechte und Linke Seite geich ==> passt