TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 67

Angabe

$\left|{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right|^{2}+\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{2}}\right|^{2}={\frac {1}{2}}(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2})$

Brauchbares

$\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Lösung

Umformen des ersten Teil der linken Seite

$z_{1}+z_{2}=a+bi+c+di$

wende brauchbares im ersten Teil an

$\left|{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right|^{2}=\left({\frac {\sqrt {(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}}{2}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+2ac+c^{2}+b^{2}+2bd+d^{2}}{4}}$

Umformen des zweiten Teil der linken Seite

$z_{1}-z_{2}=a+bi-(c+di)$

wende brauchbares im zweiten Teil an

$\left|{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right|^{2}=\left({\frac {\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}{2}}\right)^{2}={\frac {a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}{4}}$

Führe ersten und zweiten teil zusammen

${\frac {a^{2}+2ac+c^{2}+b^{2}+2bd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}{4}}={\frac {2a^{2}+2c^{2}+2b^{2}+2d^{2}}{4}}={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}}$

Nun kommt die rechte Seite

${\frac {1}{2}}(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2})={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\right)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{2}}$

Rechte und Linke Seite geich ==> passt