TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 70

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

$\frac{|z+4|}{|z-4|}<3$

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$
  Kreisgleichung:                    r  = $\sqrt{a^2+b^2}$

siehe auch Beispiel 71

Lösung von Zombie88

In Bezug auf die oben erwähnten nützlichen Tatsachen kann man schreiben:

$\frac{\sqrt{(}(a+4{)}^2+b^2)}{\sqrt{(}(a-4{)}^2+b^2)}<3$

Das ganze mit $\sqrt{(}(a-4{)}^2+b^2)$ multipliziert und $(a-4{)}^2$ gleich aufgelöst, ergibt:

$\sqrt{(}{a}^2+8a+16+b^2)<3\sqrt{(}{a}^2-8a+16+b^2)$

Quadriert:

$a^2+8a+16+b^2<9(a^2-8a+16+b^2)$

Klammer ausmultipliziert:

$a^2+8a+16+b^2<9a^2-72a+144+9b^2$

Die rechte Seite vom Ganzen abziehen:

$a^2-9a^2+72a+8a+16-144+b^2-9b^2<0$     

daraus wird dann das:

$-8a^2+80a-128-8b^2<0$

Alles mit $-\frac{1}{8}$ multiplizeren: (zu beachten: bei multiplikation mit -1 bzw. -(1/8) wird der Vergleichsoperator verändert - < $\to$ >)

$a^2-10a+16+b^2>0$

Hier wird jetzt auf ein vollständiges Quadrat ergänzt, darum die -9 hinten (25-9=16):

$a^2-10a+25+b^2-9>0$

Jetzt wird das vollständige Quadrat angeschrieben:

$a^2-10a+25=(a-5{)}^2$

Was hier noch gemacht wird ist die -9 auf die rechte Seite bringen und als $3^2$ anschreiben

$(a-5{)}^2+b^2>3^2$

weil $(a-5{)}^2+b^2={|z-5|}^2$ :

${|z-5|}^2>3^2$

woraus folgt:

$|z-5|>3$    (I)

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die (I) erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius $(x-5{)}^2+b^2$ vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 5 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.

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Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi

Alternative Lösung ohne Umweg über $z=a+bi$

$\frac{|z+4|}{|z-4|}<3$

$|z+4|<3\ast |z-4|$

1. Ansatz $|z{|}^2=z\ast \overline{z}$

$|z+4{|}^2<9\ast |z-4{|}^2$

$(z+4)\ast \overline{z}+4<9(z-4)\overline{z}-4$

$(z+4)\ast (\overline{z}+4)<9(z-4)(\overline{z}-4)$

Ausmultiplizieren:

$z\ast \overline{z}+4\ast \overline{z}+4z+16<9z\ast \overline{z}-36\ast \overline{z}-36z+144$

Umformen und gleich durch 8 dividieren:

$z\ast \overline{z}-5\ast \overline{z}-5\ast z+16>0$

Auf ein vollständiges Quadrat bringen:

$z\ast \overline{z}-5\ast \overline{z}-5\ast z+25-9>0$

$|z-5{|}^2-9>0$

Umformen:

$|z-5{|}^2>9$

Wurzln und siehe da gleiches Ergebnis wie oben!

$|z-5|>3$