TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 70

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

${\frac {|z+4|}{|z-4|}}<3$

Nützliches und Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| =  ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 
  Kreisgleichung:                    r  =  ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

siehe auch Beispiel 71

Lösung von Zombie88[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Bezug auf die oben erwähnten nützlichen Tatsachen kann man schreiben:

${\frac {{\sqrt {(}}(a+4)^{2}+b^{2})}{{\sqrt {(}}(a-4)^{2}+b^{2})}}<3$

Das ganze mit ${\sqrt {(}}(a-4)^{2}+b^{2})$ multipliziert und $(a-4)^{2}$ gleich aufgelöst, ergibt:

 ${\sqrt {(}}a^{2}+8a+16+b^{2})<3{\sqrt {(}}a^{2}-8a+16+b^{2})$

Quadriert:

 $a^{2}+8a+16+b^{2}<9(a^{2}-8a+16+b^{2})$

Klammer ausmultipliziert:

 $a^{2}+8a+16+b^{2}<9a^{2}-72a+144+9b^{2}$

Die rechte Seite vom Ganzen abziehen:

 $a^{2}-9a^{2}+72a+8a+16-144+b^{2}-9b^{2}<0$

daraus wird dann das:

 $-8a^{2}+80a-128-8b^{2}<0$

Alles mit $-{\frac {1}{8}}$ multiplizeren: (zu beachten: bei multiplikation mit -1 bzw. -(1/8) wird der Vergleichsoperator verändert - < $\rightarrow$ >)

 $a^{2}-10a+16+b^{2}>0$

Hier wird jetzt auf ein vollständiges Quadrat ergänzt, darum die -9 hinten (25-9=16):

 $a^{2}-10a+25+b^{2}-9>0$

Jetzt wird das vollständige Quadrat angeschrieben:

 $a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

Was hier noch gemacht wird ist die -9 auf die rechte Seite bringen und als $3^{2}$ anschreiben

 $(a-5)^{2}+b^{2}>3^{2}$

weil $(a-5)^{2}+b^{2}=\left|z-5\right|^{2}$ :

 $\left|z-5\right|^{2}>3^{2}$

woraus folgt:

 $\left|z-5\right|>3$     (I)

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die (I) erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius $(x-5)^{2}+b^{2}$ vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 5 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.