TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 71

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

${\frac {|z+5|}{|z|}}<4$

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
  Kreisgleichung:                    r  = ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

siehe auch Beispiel 70

Lösung (korrigiert, analog Beispiel 70)

Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.

      |z + 5| < 4*|z|                      

1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ($|z|^{2}=z*{\bar {z}}$)

 $|z+5|^{2}<16*|z|^{2}$
 
 $(z+5)*({\bar {z}}+5)<16*z*{\bar {z}}$

Ausmultiplizieren:

 $(z*{\bar {z}}+5z+5{\bar {z}}+25)<16*z*{\bar {z}}$

Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:

  $-15z*{\bar {z}}+5z+5{\bar {z}}+25>0$  
  
  $z*{\bar {z}}-1/3z-1/3{\bar {z}}-5/3>0$                 | auf vollständiges Quadrat bringen $\pm$ 1\9
  
  $z*{\bar {z}}-1/3z-1/3{\bar {z}}+1/9-1/9-15/9>0$   | "Quadrate" bilden und in |z| rückformen
  
  $(z-1/3)({\bar {z}}-1/3)-16/9>0$                 | $|z|^{2}=z*{\bar {z}}$
  
  $|z-1/3|^{2}-16/9>0$
  
  $|z-1/3|^{2}>16/9$                              | Wurzel ziehen   
    

Ergibt als Lösung:

  $|z-{\frac {1}{3}}|>{\frac {4}{3}}$ 

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius (x − 1/3)² + b² vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 1/3 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.