TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 71

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung?

$\frac{|z+5|}{|z|}<4$

Nützliches und Hilfreiches

  Komplexe Zahlen Form: z = a +bi   |z| = $\sqrt{a^2+b^2}$
  Kreisgleichung:                    r  = $\sqrt{a^2+b^2}$

siehe auch Beispiel 70

Lösung (korrigiert, analog Beispiel 70)

Zunächst muß die Ungleichung umgeformt werden, indem man beide Seiten mit |z| multipliziert.

      |z + 5| < 4*|z|                      

1. Ansatz: Bruch auflösen (* |z|)und dann |z| umformen ($|z{|}^2=z\ast \overline{z}$)

 $|z+5{|}^2<16\ast |z{|}^2$
 
 $(z+5)\ast (\overline{z}+5)<16\ast z\ast \overline{z}$

Ausmultiplizieren:

 $(z\ast \overline{z}+5z+5\overline{z}+25)<16\ast z\ast \overline{z}$

Alles auf eine Seite bringen und dann durch -15 dividieren:

  $-15z\ast \overline{z}+5z+5\overline{z}+25>0$  
  
  $z\ast \overline{z}-1/3z-1/3\overline{z}-5/3>0$                 | auf vollständiges Quadrat bringen $\pm$ 1\9
  
  $z\ast \overline{z}-1/3z-1/3\overline{z}+1/9-1/9-15/9>0$   | "Quadrate" bilden und in |z| rückformen
  
  $(z-1/3)(\overline{z}-1/3)-16/9>0$                 | $|z{|}^2=z\ast \overline{z}$
  
  $|z-1/3{|}^2-16/9>0$
  
  $|z-1/3{|}^2>16/9$                              | Wurzel ziehen   
    

Ergibt als Lösung:

  $|z-\frac{1}{3}|>\frac{4}{3}$ 

Lösungsmenge: alle komplexen Zahlen, die obige Gleichung erfüllen.

Man stelle sich einen Kreis mit Radius (x − 1/3)² + b² vor dessen Mittelpunkt auf der Zahl 1/3 liegt vor. Alle komplexen Zahlen, die NICHT in dem Kreis liegen sind die die Lösungsmenge.