TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 72

Man berechne alle Werte von $\sqrt{7+24i}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung. (Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real und Imaginärteile.)

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$a{x}^2+bx+c=0⟹x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

siehe auch Beispiel 73

Lösungsvorschlag

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

 7 + 24i = a² - b² + 2abi   Realteil:  7 = a² - b²  Imaginärteil:   24i = 2abi oder 12 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 7 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -144/a² + a² = 7

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -144/x +x = 7 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 7x - 144 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung, die ich auf zwei Wegen lösen kann:

Der klarere Weg (da keine Lösung übersehen wird) ist das Einsetzen in die Lösungsformel

    $x=-(-7/2)\pm \sqrt{7\ast 7-(-4\ast 144)}/2=7/2\pm 25/2$    d.h. x1 = 16 und x2 = 9
    $x_1=a^2=16$  $x_2=a^2=9$

 Das ergibt für a folgende 4 Werte:  +4, -4, +3 und -3
 
 Da b = 12/a ist gibt es für b folgende 4 Werte:  +3, -3, +4 und -4
 
 Das ergibt dann folgende Gleichungen, die quadriert alle 7+ 24i ergeben:
 1) (4 + 3i)    2) (-4 - 3i)    3) (3 + 4i)    4) (-3 -4i)

 Ich erweitere die Gleichung um + 49/4 und -49/4 auf x² - 7x + 49/4 -(49+4*144)/4 = 0  somit (x - 7/2)² = 625/4
 
 Beim nachfolgenden Wurzelziehen wird meist übersehen, daß auch die rechte Seite 2 Lösungen hat
    
    $\sqrt{625/4}=\pm 25/2$  somit x = 7/2 $\pm$ 25/2 
    $x_1=a^2=16$  $x_2=a^2=9$
   
    Die Werte für a und b werden dann wie oben berechenet

Hapi