TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 72
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Man berechne alle Werte von ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung. (Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real und Imaginärteile.)
Nützliches und Hilfreiches:[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Große Lösungsformel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
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siehe auch Beispiel 73
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:
7 + 24i = a² - b² + 2abi Realteil: 7 = a² - b² Imaginärteil: 24i = 2abi oder 12 = ab
Diesen Wert kann ich in die Gleichung 7 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -144/a² + a² = 7
Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -144/x +x = 7 um, indem ich mit x multipliziere:
x² - 7x - 144 = 0
Nun habe ich eine quadratische Gleichung, die ich auf zwei Wegen lösen kann:
Der klarere Weg (da keine Lösung übersehen wird) ist das Einsetzen in die Lösungsformel
d.h. x1 = 16 und x2 = 9
Das ergibt für a folgende 4 Werte: +4, -4, +3 und -3 Da b = 12/a ist gibt es für b folgende 4 Werte: +3, -3, +4 und -4 Das ergibt dann folgende Gleichungen, die quadriert alle 7+ 24i ergeben: 1) (4 + 3i) 2) (-4 - 3i) 3) (3 + 4i) 4) (-3 -4i)
Ich erweitere die Gleichung um + 49/4 und -49/4 auf x² - 7x + 49/4 -(49+4*144)/4 = 0 somit (x - 7/2)² = 625/4 Beim nachfolgenden Wurzelziehen wird meist übersehen, daß auch die rechte Seite 2 Lösungen hat somit x = 7/2 25/2 Die Werte für a und b werden dann wie oben berechenet
Hapi