TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 73

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {8-6i}}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung. (Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real und Imaginärteile.)

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$ax^{2}+bx+c=0\quad \Longrightarrow \quad x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$.

siehe auch Beispiel 72

Lösung von Zombie88

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

  8 - 6i = a² - b² + 2abi   Realteil:  8 = a² - b²  Imaginärteil:   6i = 2abi oder 3 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 8 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -9/a² + a² = 8

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -9/x +x = 8 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 8x + - 9 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung: $x_{1,2}={\frac {8\pm {\sqrt {8*8-(-9)*4}}}{2}}=4\pm 5$

$x_{1}=9$

$x_{2}=-1$

$x_{2}$ kann man ignorieren, weil a und b nur reelle Werte annehmen dürfen. (Was aber bei $a^{2}=-1$ nicht möglich ist)

Also $a^{2}=9$ d.h. $a_{1}=3$ oder $a_{2}=-3$

Und $b_{1}=-3/3=-1$ oder $b_{2}=-3/-3=+1$

Die zwei Lösungen:

$-3+i$
$3-i$

__________

Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi