TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 73

Man berechne alle Werte von $\sqrt{8-6i}=a+bi$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung. (Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real und Imaginärteile.)

Nützliches und Hilfreiches:

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$a{x}^2+bx+c=0⟹x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

siehe auch Beispiel 72

Lösung von Zombie88

Die Gleichung quadriert ergibt folgendes:

  8 - 6i = a² - b² + 2abi   Realteil:  8 = a² - b²  Imaginärteil:   6i = 2abi oder 3 = ab

Diesen Wert kann ich in die Gleichung 8 = a² - b² einsetzen, das ergibt dann -9/a² + a² = 8

Als nächsten Schritt ersetze ich a² durch x und forme die Gleichung -9/x +x = 8 um, indem ich mit x multipliziere:

x² - 8x + - 9 = 0

Nun habe ich eine quadratische Gleichung: $x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{8\ast 8-(-9)\ast 4}}{2}=4\pm 5$

$x_1=9$

$x_2=-1$

$x_2$ kann man ignorieren, weil a und b nur reelle Werte annehmen dürfen. (Was aber bei $a^2=-1$ nicht möglich ist)

Also $a^2=9$ d.h. $a_1=3$ oder $a_2=-3$

Und $b_1=-3/3=-1$ oder $b_2=-3/-3=+1$

Die zwei Lösungen:

$-3+i$
$3-i$

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Danke für den Beitrag und die Lösung von Zombie88.

Hapi