TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 74

Lösen Sie die folgenden Kongruenzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit:

• $8x\equiv 4\;({\text{mod}}\ 16)$
• $8x\equiv 4\;({\text{mod}}\ 15)$

Hilfreiches

Restklassen

Restklassen

Restklassen modulo $m$:

${\overline {a}}=\lbrace a+km|k\in \mathbb {Z} \rbrace _{m}$

Siehe Beispiele 74-76

Lösungsversuch

Rechnen mit Kongruenzen

Allgemeines:

Modulo teilt Werte in Restklassen durch Division mit dem Mod-Wert e, d.h. beide Werte haben bei der Division durch den Faktor m (Modulo) denselben Rest.

a $\equiv$ b mod m bedeutet daher bei Bestehen der Kongruenz daß a/m und b/m denselben Rest haben. Daraus folgt, daß m | (b-c) gilt und somit m den Term (b-c) ohne Rest teilt (sonst nicht kongruent!).

Weiters bedeutet 3a $\equiv$ 3b mod m dasselbe wie a $\equiv$ b mod m, man kann also die linke Seite des Ausdrucks um den gemeinsamen Teiler kürzen, wenn auf der rechten Seite m nicht teilbar ist.

Ist m aber ebenfalls teilbar, so lautet die Rechenregel 3a $\equiv$ 3b mod 3m entspricht a $\equiv$ b mod m, d.h. auch m muß dividiert werden.

Eine Kongruenz der Form ax $\equiv$ b ist genau dann lösbar, wenn der ggT (a, m ) die Zahl c teilt.

ad a) 8x $\equiv$ 4 mod 16, 2x $\equiv$ 1 mod 4

Es gibt keine Lösung, da b < als a ist, b kann aber kein Bruch sein!

Oder etwas mehr mathematisch: der ggt von 8x und 16 ist 8, 8 teilt nicht 4, daher keine Lösung!

ad b) 8x $\equiv$ 4 mod 15, 2x $\equiv$ 1 mod 15

D.h. es gibt eine Lösung denn b teilt ax, hat aber keinen ggt mit c (15)

Denn 8*8 = 64 $\equiv$ 4 mod 15

Allgemein: x = c + m*k, für alle k (1..unendlich) aus den natürliche Zahlen N

In diesem Fall: x = 8 +4*15k {k = 0 ... $\infty$} (für ganze Zahlen: 8 $\pm$ 4*15k {k = 0 ... $\infty$} )

Hapi