TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 79

Lösen Sie die folgenden Kongruenzen (d.h. Gleichungen in Restklassen) bzw. beweisen Sie die Unlösbarkeit!

$a)\qquad x^{2}-3x+2\equiv 0{\text{ (mod 5)}}$

$b)\qquad x^{2}-3x+2\equiv 0{\text{ (mod 6)}}$

Vorbereitende Vereinfachungen

Allgemeines zur Zerlegung in Linearfaktoren

Idee: Da die Lösung dieser Aufgabe mit einer quadratischen Gleichung, die in die Form (x$\pm$f)(x$\pm$g) viel einfacher ist, möchten wir die vorliegende quadratische Gleichung in Linearfaktoren zerlegen.

Es gilt dabei folgender Zerlegungssatz:

Der quadratische Term

$ax^{2}+bx+c\qquad \forall a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0$

lässt sich genau dann in die Linearfaktoren

$a(x-x_{1})(x-x_{2})$

zerlegen, wenn die quadratische Gleichung

$ax^{2}+bx+c=0$

in $\mathbb {R}$ lösbar ist und die Zahlen $x_{1}$ und $x_{2}$ als Lösungen hat.

Anmerkungen:

1. Der Satz gilt auch, wenn $x_{1}=x_{2}$, d.h. wenn die Gleichung nur eine Lösung hat.
2. Mit "in $\mathbb {R}$ lösbar" ist auch gemeint, dass die Diskriminante (s. weiter unten) einen entsprechenden reellen Wert hat.

Isolierung der Koeffizienten

Die gegebene quadratische Gleichung

$x^{2}-3x+2=0$

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

$ax^{2}-bx+c=0$

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

• a=1
• b=-3
• c=2

Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen

$z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {(b^{2}-4ac)}}}{2a}}$

Sonderform: Satz von Vieta als Lösungsformel f. quadratische Gleichungen

Jede quadratische Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ lässt sich durch Division durch $a\neq 0$ auf die sogenannte Normalform $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ bringen, mit $p={\frac {b}{a}},q={\frac {c}{a}}$ folgt $x^{2}+px+q=0$.

Damit lautet der Satz von Vieta: Zwischen den Lösungen $x_{1},\ x_{2}$ und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung in Normalform $x^{2}+px+q=0$ besteht folgender Zusammenhang: $p=-\left(x_{1}+x_{2}\right)$ und $q=x_{1}x_{2}$.

Betrachtung der Diskriminante

Die Diskriminante (D) ist $b^{2}-4ac$. Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ zu erwarten sind.

Wenn gilt:

• D > 0 $\Rightarrow$ verschiedene reelle Lösungen
• D = 0 $\Rightarrow$ genau eine Lösung
• D < 0 $\Rightarrow$ keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt 1, daher werden wir zwei reelle Lösungen erwarten!

Berechnung der Lösungen

• a=1
• b=-3
• c=2

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {(b^{2}-4ac)}}}{2a}}\Rightarrow \qquad {\frac {3\pm {\sqrt {(9-8)}}}{2}}={\frac {3\pm {\sqrt {(1)}}}{2}}$

$x_{1}={\frac {3+{\sqrt {(1)}}}{2}}=2$

$x_{2}={\frac {3-{\sqrt {(1)}}}{2}}=1$

Damit kann ich die Gleichung zerlegen in:

$x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

(Zerlegung in Linearfaktoren - https://web.archive.org/web/20180817161625/http://www.mathematik.net/quadratische-gleichungen/q11s10.htm ) --Mnemetz 22:19, 15. Nov 2005 (CET)

Beispiel 79a

Zunächst vereinfachen wir den linken Term mal ...

$x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$

Da $Z_{5}$ nullteilerfrei ist, gilt hier $x\equiv 1\mod 5$ oder $x\equiv 2\mod 5$

Nullteilerfreiheit liegt dann vor, wenn eine weitere Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr möglich ist. Beispiel: 5 kann ich nicht zerlegen, 6 schon - in 2*3.

Somit haben wir:

$L_{1}=\{-9,-4,1,6,11...\}$

$L_{2}=\{-8,-3,2,7,12...\}$

Beispiel 79b

$Z_{6}$ ist nicht nullteilerfrei, hier ist zusätzlich $3\cdot 2\equiv 0\mod 6$ und $4\cdot 3\equiv 0\mod 6$. Damit sind die Lösungen der Gleichung nicht nur $x\equiv 1\mod 6$ und $x\equiv 2\mod 6$, sondern auch noch $x\equiv 4\mod 6$ und $x\equiv 5\mod 6$.

Entweder sieht man, dass $(x-1)\cdot (x-2)$ genau die Form $3\cdot 2$ bzw. $4\cdot 3$ für $x-1=3$ bzw. $x-1=4$, also $x=4$ bzw. $x=5$ hat, oder man probiert die möglichen Kongruenzen 0, 1, 2, 3, 4 und 5 einfach aus. Dann sieht man, dass genau $x=4$ und $x=5$ die Gleichung erfüllen.

Alternativ kann man die quadratische Gleichung auch auf den Modul $6$ setzen:

$(x-1)\cdot (x-2)=6$

Daraus ergeben sich die Lösungen $4$ und $-1$. $-1$ kann man dann wegen dem Modul 6 mit 6 addieren, wodurch man auch wieder auf die Ergebnisse $x=4$ und $x=5$ kommt.

$L_{1}=\{\dots ,-11,-5,1,7,13,\dots \}$

$L_{2}=\{\dots ,-10,-4,2,8,14,\dots \}$

$L_{4}=\{\dots ,-8,-2,4,10,16,\dots \}$

$L_{5}=\{\dots ,-7,-1,5,11,17,\dots \}$

Da:

${\overline {a}}\cdot {\overline {b}}\equiv 0\mod 6$

${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}\equiv 0\mod 6$

${\overline {4}}\cdot {\overline {3}}\equiv 0\mod 6$