TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 80

Man beweise folgende Regeln für das Rechnen mit Kongurenzen:

$\text{a) }a\equiv b\text{ (mod m)},c\equiv d\text{ (mod m)},\Rightarrow a+c\equiv b+d\text{ (mod m)}$

$\text{b) }a\equiv b\text{ (mod m)},c\equiv d\text{ (mod m)},\Rightarrow ac\equiv bd\text{ (mod m)}$

$\text{c) }ac\equiv bc\text{ (mod mc)},c\ne 0\Rightarrow a\equiv b\text{ (mod m)}$

Hilfreiches

Restklassen

Restklassen

Restklassen modulo $m$:

$\bar{a}=\{a+km|k\in \mathbb{Z}{\}}_m$

Lösungsvorschlag

Allgemeines:

Modulo teilt Werte in Restklassen durch Division mit dem Mod-Wert e, d.h. beide Werte haben bei der Division durch den Faktor m (Modulo) denselben Rest.

a $\equiv$ b mod m bedeutet daher bei Bestehen der Kongruenz daß a/m und b/m denselben Rest haben. Daraus folgt, daß m | (b-c) gilt und somit m den Term (b-c) ohne Rest teilt (sonst nicht kongruent!).

Oder anders gesagt, eine kongruente Zahl a besteht aus m*k + r, wobei k eine beliebige Zahl ist und r der Rest. Und wenn die Reste gleich sind, liegt Kongruenz vor. Das könnte man für den Beweis verwenden und beim Nachweis der Äquivalenz jeweils alle m*k eliminieren, da ja nur die Reste für die Kongruenz von Bedeutung sind.

$\text{a) }a\equiv b\text{ (mod m)},c\equiv d\text{ (mod m)},\Rightarrow a+c\equiv b+d\text{ (mod m)}$

a $\equiv$ b (mod m)  $\Rightarrow$  m*k1 + r1 $\equiv$ m*k2 + r1 (mod m) $\Rightarrow$ r1 = r1
c $\equiv$ d (mod m)  $\Rightarrow$  m*k3 + r2 $\equiv$ m*k4 + r2 (mod m) $\Rightarrow$ r2 = r2

Hapi

(a + c) $\equiv$  (b + d) (mod m) $\Rightarrow$ (m*k1 + m*k3 + r1 + r2) $\equiv$ (m*k2 + m*k4 + r1 +r2) (mod m)
   $\Rightarrow$  r1 + r2 = r1 + r2    somit Äquivalenz gegeben.

$\text{b) }a\equiv b\text{ (mod m)},c\equiv d\text{ (mod m)},\Rightarrow ac\equiv bd\text{ (mod m)}$

a $\equiv$ b (mod m)  $\Rightarrow$  m*k1 + r1 $\equiv$ m*k2 + r1 (mod m) $\Rightarrow$ r1 = r1
c $\equiv$ d (mod m)  $\Rightarrow$  m*k3 + r2 $\equiv$ m*k4 + r2 (mod m) $\Rightarrow$ r2 = r2

(a * c) $\equiv$  (b * d) (mod m) $\Rightarrow$ (m*k1 + r1)* (m*k3 + r2) $\equiv$ (m*k2 +r1) * (m*k4 + r2) (mod m)  
     $\Rightarrow$  r1 * r2 = r1 * r2    somit Äquivalenz gegeben.

$\text{c) }ac\equiv bc\text{ (mod mc)},c\ne 0\Rightarrow a\equiv b\text{ (mod m)}$

a $\equiv$ b (mod m)  $\Rightarrow$  m*k1 + r1 $\equiv$ m*k2 + r1 (mod m) $\Rightarrow$ r1 = r1
c $\equiv$ d (mod m)  $\Rightarrow$  m*k3 + r2 $\equiv$ m*k4 + r2 (mod m) $\Rightarrow$ r2 = r2

(a / c) $\equiv$  (b / d) (mod m) $\Rightarrow \frac{(m\ast k1+r1)}{(m\ast k3+r2)}$ $\equiv \frac{(m\ast k2+r1)}{(m\ast k4+r2)}$ (mod m) 
     $\Rightarrow$  r1 / r2 = r1 / r2    somit Äquivalenz gegeben.

Hapi